Integral (Partzialbruchzerlegung)

09.08.2009, 18:01

IceTi

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Integral (Partzialbruchzerlegung)

Hi, folgendes Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{x^4+2x+1}{x^4-2x^3+2x^2+1} ~dx \end{eqnarray*}$

Nach Polynomdivion und so weiter, komme ich auf folgende Nullstellen bzw. sieht der Nenner wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} (x-1)^2*(x^2+1) \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich nicht wie ich mit dem (x²+1) umgehen soll. Es gibt dabei ja 2 komplexe Nullstellen, doch wie rechne ich damit nun? So?

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{(x-1)} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{(x^2+1)} \end{eqnarray*}$

Das bekomme ich dann allerdings nicht aufgelöst. Könnt ihr mir ein paar Denkanstöße geben? Danke

09.08.2009, 18:17

IfindU

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RE: Integral (Partzialbruchzerlegung)
Hast du die Polynomdivision durchgeführt, um um den Grad des Zählers zu reduzieren? Meines Wissens muss der kleiner sein als der des Nenners.

09.08.2009, 18:18

IceTi

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Genau... komme dann halt auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} 1 + \frac{2x^3+2x^2+4x}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1} \end{eqnarray*}$

09.08.2009, 18:31

IfindU

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Wie lautet der Nenner jetzt? Ist da noch ein -2x da oder nicht?

09.08.2009, 18:40

IceTi

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Wie? Der Nenner steht doch da! Dann rate ich die Nullstelle "1", mache das Hornerschema und komme auf...

$\begin{eqnarray*} x^3-x^2+x-1 \end{eqnarray*}$

... da nehme ich dann wieder ne Nulstelle "1" und komme halt auf..

$\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$

09.08.2009, 18:52

IfindU

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Du hattest im ersten Post den Nenner falsch aufgeschrieben (oder falsch faktorisiert).

Hab mal die Polynomdivision zurückgerechnet und bekomme einen anderen Zähler (x^4+4x^2+2x+1), irgendwas scheint da nicht zu stimmen.

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09.08.2009, 23:01

Mathespezialschüler

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@IfindU
$\begin{eqnarray*} \left(x^2+1\right)(x-1)^2=\left(x^3-x^2+x-1\right)(x-1)=x^4-x^3+x^2-x-x^3+x^2-x+1=x^4-2x^3+2x^2-2x+1 \end{eqnarray*}$ . verwirrt

verwirrt

Edit: Entschuldige, es ging ja um den Zähler. Ignoriert, was ich geschrieben habe!

11.08.2009, 13:39

IceTi

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Irgendwie habt ihr mich jetzt verwirrt....

Wie gehe ich nun den weiter vor?

11.08.2009, 14:02

Elucubrator

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Wie sicher bist Du Dir, dass das die Aufgabenstellung so wie sie da steht richtig ist?

11.08.2009, 14:45

IfindU

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{x^4+2x+1}{x^4-2x^3+2x^2+1} ~dx \end{eqnarray*}$

...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 1 + \frac{2x^3+2x^2+4x}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1} \end{eqnarray*}$

Erst einmal: Wie lautet der Nenner denn nun?

Dann sehen wir weiter ob die Polynomdivision stimmt, dann können wir uns an die Partialbruchzerlegung machen.

11.08.2009, 15:20

IceTi

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Oh sorry Leute. Also nochmal alles von vorne... die Aufgabe lautet nun so:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{x^4+2x+1}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1} ~dx \end{eqnarray*}$

Nach der Polynomdivion sieht der Bruch so aus:

$\begin{eqnarray*} 1 + \frac{2x^3-2x^2+4x}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1} \end{eqnarray*}$

Nach zweimaliger Anwendung des Hornerschemas (druch einsetzen der "1" als Nullstelle). Komme ich auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} (x-1)^2*(x^2+1) \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich da nun weiter vor?

11.08.2009, 15:26

IfindU

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Du gehst deinem Ansatz aus dem ersten Post nach.

11.08.2009, 15:45

IceTi

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Ja, nur bekomme ich das (wie schon gesagt) nicht aufgelöst.... Also für B habe ich 2 raus, aber A und C bekomme ich nicht...

11.08.2009, 16:10

IfindU

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Hab nun selber nachgerechnet und komme auf keinen grünen Zweig. Durch den Koeffizientenvergleich bekommt man ein nicht lösbares Gleichungssystem, wodurch ich mit meinem Latein am Ende bin. Wäre nett wenn uns jemand anderes aus dem Forum erleuchtet Gott

Gott

11.08.2009, 16:40

Ungewiss

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Zitat:

Original von IfindU
Du gehst deinem Ansatz aus dem ersten Post nach.

Das ist falsch.

Für einen irreduziblen quadratischen Faktor im Nenner muss man

$\begin{eqnarray*} \frac{Bx+C}{ax^2+bx+c} \end{eqnarray*}$
ansetzen.

11.08.2009, 16:43

Elucubrator

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Zitat:

Original von IfindU
Hab nun selber nachgerechnet und komme auf keinen grünen Zweig. Durch den Koeffizientenvergleich bekommt man ein nicht lösbares Gleichungssystem, wodurch ich mit meinem Latein am Ende bin. Wäre nett wenn uns jemand anderes aus dem Forum erleuchtet Gott

Gott

$\begin{eqnarray*} \frac{x^4+2x+1}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}=\frac{x^2-x+2}{x-1}+\frac{(x-1)^2}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

11.08.2009, 16:47

Elucubrator

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Oben ist ein kleiner Dreher drin, so müsste es nun passen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^4+2x+1}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}=\frac{x^2-x+2}{(x-1)^2}+\frac{(x-1)}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

11.08.2009, 16:55

IceTi

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Moment... hatte die anderes Posts noch nicht gelesen...

11.08.2009, 16:59

IceTi

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Zitat:

Original von Ungewiss
Für einen irreduziblen quadratischen Faktor im Nenner muss man

$\begin{eqnarray*} \frac{Bx+C}{ax^2+bx+c} \end{eqnarray*}$
ansetzen.

Ja aber bei x²+1 ist das "x" doch "0" und dann komme ich ja auf C/(x²+1)

Zitat:

Original von Elucubrator
Oben ist ein kleiner Dreher drin, so müsste es nun passen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^4+2x+1}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}=\frac{x^2-x+2}{(x-1)^2}+\frac{(x-1)}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Öhm ja... dass bringt mich auch nicht weiter, oder?

11.08.2009, 17:02

Ungewiss

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Zitat:

Original von IceTi

Zitat:

Original von Ungewiss
Für einen irreduziblen quadratischen Faktor im Nenner muss man

$\begin{eqnarray*} \frac{Bx+C}{ax^2+bx+c} \end{eqnarray*}$
ansetzen.

Ja aber bei x²+1 ist das "x" doch "0" und dann komme ich ja auf C/(x²+1)

Ich verstehe diese Begründung nicht. Wenn du einen über den reellen Zahlen nicht weiter zerlegbaren Faktor 2. Grades im Nenner hast, musst du für dessen Partialbruch im Zähler eine lineare Funktion ansetzen. Kann sein, dass der Koeffizient von x in manchen Fällen verschwindet, aber das ist doch nicht generell so, wie man an dieser Aufgabe sieht.

11.08.2009, 17:04

IceTi

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Wie würde die Partizialbruch zerlegung den nun aussehen?

11.08.2009, 17:07

Ungewiss

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$\begin{eqnarray*} \frac{A}{(x-1)} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{Cx+D}{(x^2+1)}=\frac{2x^3-2x^2+4x}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1} \end{eqnarray*}$

11.08.2009, 17:21

IceTi

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Also das habe ich soweit verstanden... Doch ist es mir jetzt wieder nicht möglich die ganze Geschichte nach A,C und D aufzulösen...

11.08.2009, 17:33

Ungewiss

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Wo genau liegt denn das Problem?

Schreib doch einfach mal deinen Ansatz für den Koeffizientenvergleich hin. Vielleicht findet man ja den Fehler, bzw kann dir weiterhelfen.

Du kannst die Konstanten auch bestimmen, indem du spezielle Werte für x einsetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{(x-1)} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{Cx+D}{(x^2+1)}=\frac{2x^3-2x^2+4x}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A(x-1)(x^2+1) + B(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)^2=2x^3-2x^2+4x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=1 \text{ einsetzen} \Rightarrow B=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=i \text{ einsetzen} \Rightarrow -2i(Ci+D)=2i+2 \Rightarrow C=1\ \wedge\ D=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=2 \text{ einsetzen} \dots \end{eqnarray*}$

11.08.2009, 18:30

IceTi

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Zitat:

Original von Ungewiss
$\begin{eqnarray*} x=i \text{ einsetzen} \Rightarrow -2i(Ci+D)=2i+2 \Rightarrow C=1\ \wedge\ D=-1 \end{eqnarray*}$

Wie kommst du darauf?

11.08.2009, 18:33

Ungewiss

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Rechnenregeln der komplexen Zahlen, aber wie gesagt, du kannst die Konstanten auch durch einen Koeffizientenvergleich ermitteln.

11.08.2009, 18:44

Elucubrator

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Zitat:

Original von IceTi
Wie würde die Partizialbruch zerlegung den nun aussehen?

Hallo,
die Partialbruchzerlegung hab ich Dir doch oben schon hingeschrieben und ermittelt hab ich sie per Koeffizientenvergleich (ist tatsächlich etwas lästig - geht aber) mit dem Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \frac{Ax^2+Bx+C}{(x-1)^2}+\frac{Dx^2+Ex+F}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Wenn Dir jetzt nicht klar ist wie es damit weitergeht, dann frag ich mich wieso Du überhaupt erst mit ner PBZ angefangen hast.
Solltest Du die Ableitungen von Logarithmus und ArcTan kennen, dann kannst du die Stammfunktion doch fast direkt ablesen.

11.08.2009, 19:21

IceTi

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Ich check nun alles bis auf diese Sache:

$\begin{eqnarray*} -2i(Ci+D)=2i+2 \Rightarrow C=1\ \wedge\ D=-1 \end{eqnarray*}$

Wenn ich $\begin{eqnarray*} -2i(Ci+D) \end{eqnarray*}$ ausrechne kommt doch $\begin{eqnarray*} 2C-2Di \end{eqnarray*}$ raus... Wie kommst du dann also auf die Ergebnisse für C und D ? unglücklich

unglücklich

11.08.2009, 19:25

klarsoweit

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Zitat:

Original von Elucubrator
Hallo,
die Partialbruchzerlegung hab ich Dir doch oben schon hingeschrieben

Vielleicht liest du erstmal Prinzip "Mathe online verstehen!" , bevor du Lösungen kommentarlos hinknallst.

11.08.2009, 20:24

Ungewiss

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2 komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn ihre Real- und Imaginärteile übereinstimmen.

11.08.2009, 20:42

Elucubrator

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Zitat:

Original von klarsoweit
Vielleicht liest du erstmal das Prinzip "Mathe online verstehen!" , bevor du Lösungen kommentarlos hinknallst.

Oho, willkommen im Land der Schildermacher und Besserwisser - ja?
Bin ich Dir aus Versehen auf den Schlips getreten oder was?

1. Die Aufgabe besteht darin ein Integral zu lösen, das hab ich nicht mal ansatzweise getan - von Lösung hinknallen kann also keine Rede sein.

2. Kommentare und Tipps zur PBZ hat's in diesem Thread schon mehr als genug gegeben.

3. Die sogenannte "kommentarlos hingeknallte Lösung" war nichts als eine Antwort auf die Bitte von IfindU, die Du oben finden kannst.

Ich kann Dein Gemecker also nicht nachvollziehen.
Sollte ich dennoch eines der Board-Dogmen verletzt haben - nun das wird ganz sicher nie mehr passieren!

11.08.2009, 20:49

IceTi

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Zitat:

Original von Ungewiss
2 komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn ihre Real- und Imaginärteile übereinstimmen.

Öhm... okay... hilft mir leider nicht weiter, dass ganze zu verstehen iwie...

11.08.2009, 21:41

Ungewiss

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$\begin{eqnarray*} 2C-2Di=2+2i\Leftrightarrow 2C=2\wedge -2D=2 \end{eqnarray*}$

Wo liegt eigentlich das Problem? Die Konstanten kannst du durch Koeffizientenvergleich ermitteln und wie die Brüche zu integrieren sind wurde schonmal erwähnt.

12.08.2009, 12:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von IceTi

Zitat:

Original von Ungewiss
2 komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn ihre Real- und Imaginärteile übereinstimmen.

Öhm... okay... hilft mir leider nicht weiter, dass ganze zu verstehen iwie...

Vielleicht verwirrt die Methode mit dem Einsetzen von komplexen Werten für x mehr als sie hilft. Mach am besten den üblichen Koeffizientenvergleich.

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