Determinanten Rechnung

09.08.2009, 19:07

phantast

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Determinanten Rechnung

Suche zu beidem Aufgaben die Lösung..

Zur 2ten habe ich eine Determinate von a+4 raus ! Komme dann aber nicht auf die richtige Lösung!

Wer kann mir helfen? Danke !

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09.08.2009, 19:58

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Deine zwei anderen Infos hast du ja noch gar nicht genutzt:

Aus $\begin{eqnarray*} |A| = |4 A^{-1}| \end{eqnarray*}$ folgt unter Nutzung von $\begin{eqnarray*} |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} \end{eqnarray*}$ dann umgeformt $\begin{eqnarray*} |A|^2 = 4 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} |A|=2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} |A|=-2 \end{eqnarray*}$ , was du mit deinem $\begin{eqnarray*} |A|=a+4 \end{eqnarray*}$ verarbeiten kannst.

Welche der beiden Varianten es ist, ermittelst du über die zweite Info, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ negativ definit sein soll.

09.08.2009, 20:26

phantast

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ja die untere Aufgabe konnte ich jetzt eigenständig lösen!
Allerdings hänge ich noch bei der oberen fest :/

Müsste ja eigentlich B ^-1 = Spur von B^-1 sein oder???

10.08.2009, 00:51

AD

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Die erste Aufgabe ist eigentlich eine nette Klausuraufgabe: Hier haben Schnellrechner genauso eine Chance wie langsamere, die durchdacht vorgehen, und erstmal die Eigenschaften von Determinante und Spur sinnvoll zur Vereinfachung einsetzen. Mit letzterem bleibt nämlich am Ende kaum noch was zu rechnen übrig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von phantast
Müsste ja eigentlich B^-1 = Spur von B^-1 sein oder???

Wenn du links nicht $\begin{eqnarray*} B^{-1} \end{eqnarray*}$ , sondern die Determinante davon, also $\begin{eqnarray*} |B^{-1}| \end{eqnarray*}$ meinst, liegst du richtig. Big Laugh

Big Laugh

10.08.2009, 07:21

phantast

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ja da wäre dann doch 1/-3a+14 oder ? Allerdings hänge ich irgendwie bei der Spur fest

10.08.2009, 09:34

AD

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Du weißt doch aber, wie die Spur definiert ist, oder?

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10.08.2009, 11:00

phantast

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ja das wäre dann 1/-3+a !
Allerdings bringt mich das nicht auf die richtige Lösung!

10.08.2009, 11:39

Leopold

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Aus $\begin{eqnarray*} |A| = |4 A^{-1}| \end{eqnarray*}$ folgt unter Nutzung von $\begin{eqnarray*} |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} \end{eqnarray*}$ dann umgeformt $\begin{eqnarray*} |A|^2 = 4 \end{eqnarray*}$

Da stimmt etwas nicht. Für eine $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -reihige quadratische Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und einen Skalar $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \det(\lambda A) = \lambda^n \det A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \det \end{eqnarray*}$ ist multilinear, nicht linear.

Bei der ersten Aufgabe beachte:

$\begin{eqnarray*} B^{-1} = \frac{1}{\det B} \cdot \operatorname{adj} B \end{eqnarray*}$

Und die Adjunkte $\begin{eqnarray*} \operatorname{adj} B \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ läßt sich im zweidimensionalen Fall leicht angeben. Beachte ferner, daß die Spur eine lineare Abbildung ist.

10.08.2009, 12:28

phantast

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also

1/-3a+14 * ( a 2 )
(-7 -3) = Spur ?

10.08.2009, 15:30

AD

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In der Tat, da ist mir was durch die Lappen gerutscht. Na zum Glück würde ich ja dann immer Probe machen. Big Laugh

Big Laugh

10.08.2009, 20:02

WebFritzi

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Zur zweiten: Es gelten (falls B invertierbar ist)

$\begin{eqnarray*} {\rm det}(A^{-1}B^{-1}A) = {\rm det}(B^{-1}) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} {\rm spur}(A^{-1}B^{-1}A) = {\rm spur}(B^{-1}). \end{eqnarray*}$

10.08.2009, 23:43

Leopold

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Ich glaube, das war nach den Beiträgen von 20:26 und 00:51 schon klar.

11.08.2009, 11:25

phantast

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naja wenn man aber nur die det (b^-1) = spur (b^-1) gleichsetzt...kommt da nicht die richtige Lösung raus!

es ist auf jeden fall 1/14-3a = Spur ( A^-1 * B^-1 * A )
aber weiter komme ich leider nicht

11.08.2009, 11:48

Elucubrator

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Zitat:

Original von phantast
naja wenn man aber nur die det (b^-1) = spur (b^-1) gleichsetzt...kommt da nicht die richtige Lösung raus!

Doch, da kommt schon die richtige Lösung raus.
Wie sieht denn $\begin{eqnarray*} B^{-1} \end{eqnarray*}$ aus?

Zitat:

Original von phantast
es ist auf jeden fall 1/14-3a = Spur ( A^-1 * B^-1 * A )
aber weiter komme ich leider nicht

Nein, das stimmt nicht.

Nochmal: Bestimme zunächst mal $\begin{eqnarray*} B^{-1} \end{eqnarray*}$

11.08.2009, 11:54

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \det (A^{-1} B^{-1} A) = \operatorname{Spur} (A^{-1} B^{-1} A) \ \ \Leftrightarrow \ \ \det B^{-1} = \operatorname{Spur} B^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ \ \frac{1}{\det B} = \operatorname{Spur} \left( \frac{1}{\det B} \operatorname{adj} B \right) \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{1}{\det B} = \frac{1}{\det B} \operatorname{Spur} \left( \operatorname{adj} B \right) \ \ \Leftrightarrow \ \ \operatorname{Spur} \left( \operatorname{adj} B \right) = 1 \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} \operatorname{adj} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ haben $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{adj} B \end{eqnarray*}$ dieselbe Spur.

12.08.2009, 18:36

phantast

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danke!

dh für die Aufgabe

also quasi 1/-3a+14 = 1 / -3a + 14 * (-3 + a) =

=> 1/-3a+14 = -3 + a / -3a + 14

=> -3a + 14 / -3a + 14 = -3 + a

=> -a + 1 / -a + 1 = - 3 + a

=> a = 4

oder!?!?

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