Abschätzung des Fehlers mit Lagrange

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Lagrange Auf diesen Beitrag antworten »
Abschätzung des Fehlers mit Lagrange
Guten Abend.

Ich habe eine Aufgabe vor mir mit dessen Typ ich noch nicht sehr vertraut bin. Und zwar geht es um die Taylor-Reihe oder Taylorformel oder auch Taylorpolynom, ich verstehe den Unterschied nicht ganz. Außerdem um die Fehlerabschätzung mit dem Lagrange Restglied.

Hier der Aufgabentext:
a) Bestimmen SIe das Taylorpolynom 4. Grades des natürlichen Logarithmus lnx bzgl des Entwpunktes x0=1.
b) Schätzen Sie den Fehler | P4(2) - ln(2) | mit Hilfe des Lagrangeschen Restglied nach oben ab.

Bei Aufgabe a) kam ich noch zu Recht. Auch wenn ich irgendwann einen krummen Bruch raus hatte und feststellte dass in der Lösung einfach schon viel früher aufgehört wurde?

Aber bei b) weiß ich nun gar nicht weiter. Die Formel für das Restglied nach Lagr. habe ich mir natürlich angeguckt. Meine Idee war nun, dass ich erst das Restglied aufstellen muss und dann damit den Fehler berechne. Liegt hier schon ein Verständnis-Fehler?
Überhaupt, was ist das in der Aufgabenstellung gegebene | P4(2) - ln(2) | ? Ich würde ja erst mal ganz stupide Werte in die Restglied Formel einsetzen, weiß allerdings nicht wie ich mit dem "Xi"(gr. Burchstabe, nicht x*i) umzugehen habe. Dieses soll ja zwischen x und x0 liegen. Ja aber wo genau? Ich kann ja nicht einfach einen Wert dazwischen annehmen.

Ich danke für jeden Tip. Gerne könnt ihr meine Aufg als Beispiel nehmen um es deutlicher zu machen.
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschätzung des Fehlers mit Lagrange
Zitat:
Original von Lagrange
Dieses soll ja zwischen x und x0 liegen. Ja aber wo genau? Ich kann ja nicht einfach einen Wert dazwischen annehmen.

Du kannst das Restglied damit abschätzen. Du weißt zwar nicht genau, für welches gilt:



aber auf jedenfall gilt:



Wähle so, dass maximal wird.
Lagrange Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn überhaupt das |P4(2) - ln(2)| aus der Aufgabenstellung?

Das Restglied schätze ich also nur ab, da ich für Xi keinen konkreten Wert habe. Ich nehme das maximale an, um auf der sicheren Seite zu sein. Richtig?

Vielleicht kann jemand kurz auflisten wie man bei der Fehlerabschätzung mit Lagrange vorgeht, so in der Art:
1. Taylorpolynom bis gewünschten Grad berechnen
2. Restglied mit folgender Formel berechnen.
3. ...

Das wär mal richtig gut und ich käme vielleicht besser zu recht. So eine Art Anleitung konnte ich bis jetzt nirgendwo finden und weiß immer noch nicht genau was ich machen muss.

Danke!!
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschätzung des Fehlers mit Lagrange
Zunächst einmal muss ich das Intervall korrigieren:
Ich war von x0=0 ausgegangen.

Ein Taylorpolynom vom Grad n und Entwicklungspunkt 1 sieht ja so aus:


Man kann dadurch eine Funktion annähern und möchte erreichen, dass der Graph der Polynomfunktion den Graphen von im Entwicklungspunkt berührt und außerdem die ersten n Ableitungen von und an dieser Stelle identisch sind. Für n=1 hat man die Tangente und für n=2 eine Parabel.

Wenn man nun bis zum Grad entwickeln möchte, braucht man





somit ergibt sich:

Das Restglied gibt die Differenz zwischen dem "wahren" Wert ln(x) und dem Näherungpolynom an, also:
Lagrange Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor ich mich nun weiter mit Restglied beschäftigen kann, muss ich mal kurz eine wichtige Sache klären.
Ich bin endlos verwirrt, weil sich hier niemand bei uns an die Definitionen zu halten scheint, selbst in den Übungen scheinen diese Begriffe durcheinander gebracht worden zu sein:

Wo ist der Unterschied zwischen:
- Taylorpolynom
- Taylorformel
- Taylorreihe

Ich glaube jetzt erkannt zu haben dass beim Polynom das Restglied komplett weggelassen wird. Korrekt? Sonst noch was?

Danke!
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lagrange
Wo ist der Unterschied zwischen:
- Taylorpolynom
- Taylorformel
- Taylorreihe


http://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe

dort wird alles behandelt. Also die Formel welche das Polynom mit Restglied sowie die Reihe beinhaltet.
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lagrange
Ich glaube jetzt erkannt zu haben dass beim Polynom das Restglied komplett weggelassen wird. Korrekt?


Ja, korrekt. Es ist schließlich ein Polynom! Das folgt auch aus dem, was hier im Thread schon gesagt wurde. Wie gesagt ist das Restglied R (genauer: die Restgliedfunktion R) die Differenz zwischen der tatsächlichen Funktion (von der man ausgeht) und dem Taylorpolynom. Liegt x nahe am Entwicklungspunkt, dann ist |R(x)| sehr klein. Geht man weiter weg, wird die Differenz größer. Das kommt daher, dass das Taylorpolynom die Funktion nur lokal approximiert (annähert).
Lagrange Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten. Bei Wikipedia hatte ich schon geguckt, aber ich bin dennoch unsicher.

Bitte bestätigt oder korrigiert:

Das TaylorPOLYNOM lässt sich durch Benutzung folgender Formel bestimmen:
x0 ist Entwicklungspunkt.


Die Taylorsche Formel dagegen beinhaltet auch das Restglied, das an das Polynom (s.o) einfach addiert wird.

Die Taylorreihe finde ich genau so definiert wie das Taylorpolynom ?!

Folglich muss ich wenn Polynom oder Reihe gefordert nur die obere Formel benutzen und wenn Formel gefordert noch das Restglied berechnen und dazu addieren.
Habe ich das nuin richtig verstanden??


Ich habe das Taylorpolynom des natürlichen Logarithmus bis zum Grad n=4 nun genau so bestimmt, wie Frank es auch aufgeschrieben hatte. Allerdings hatte ich nun viel weiter aufgelöst. Wo hört man denn auf, spielt das eine Rolle?
Da nur nach dem Taylorpolynom gefragt ist, brauche ich das Restglied ja im Prinzip nicht anzuhängen.
Nun kommt aber Aufgabenteil b, s. meinen ersten Post.
Ich brauche also noch die 5. Ableitung (immer einer mehr als das Taylorpolynom wurde mir gesagt) und setze auch hier den Entwicklungspunkt ein. In die Restgliedformel eingesetzt habe ich noch ein Problem: Die Variable (c heißt sie bei mir, häufig auch ein griechisches Psi glaube ich) im Zähler. Diese soll ja zwischen x und x0 liegen. X0 ist der Entwpkt 1, aber was ist x? Und was heißt dazwischen, welchen Wert nehme ich denn nun dafür an?
Und was sagt mir überhaupt der in der Aufgabenstellung gegebene Fehler
"|P4(2) - ln (2)|" ??

VIelen herzlchen Dank, ihr seid mir eine große Hilfe!
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

die dein psi weisst du im normalen fall nicht den genauen wert.

Den diese Darstellung des Restgliedes bekommt man unter anderem durch Anwendung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung und dieser eben sagt nur aus, dass es so ein psi in diesem Intervall existiert, jedoch nicht welches es nun ist.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lagrange
Und was sagt mir überhaupt der in der Aufgabenstellung gegebene Fehler
"|P4(2) - ln (2)|" ??


Offenbar hast du meinen Beitrag nicht ordentlich gelesen. Oder du hast Teile davon nicht verstanden. Wieso fragst du dannn nicht nach? unglücklich
Lagrange Auf diesen Beitrag antworten »

Oh mann... Wieso sagst du mir denn nicht wenigstens was falsch ist. Ich kriege wirklich Zeitprobleme...

Ich habe deinen Beitrag gerade noch 10 Mal gelesen. Du erklärst was das Restglied ist und hast mir bestätigt dass das Polynom ohne Restglied bestimmt wird.

Bitte hab was Verständnis, ich bin absolut überarbeitet und dieses Problem hier ist nur eines von vielen in Analysis die ich in den nächsten 3 Tagen ausbügeln muss.
Dafür will ich nun erst mal genau verstehen was ich wann zu tun habe, wenn nach Polynom, Reihe oder Formel gefragt wird.
Und dann muss ich noch die Fehlerabschätzung hinbekommen. Das Restglied habe ich dank dir nun verstanden, allerdings bleiben die Fragen aus meinem letzten Post.

Danke für deine Zeit!
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lagrange
Und was sagt mir überhaupt der in der Aufgabenstellung gegebene Fehler
"|P4(2) - ln (2)|" ??


OK, dann nochmal für dich. Das ist der Betrag des Restgliedes (im Punkt x = 2). Und da du ja jetzt verstanden hast, was das Restlglied ist und wofür es gut ist, sollte die Frage damit beantwortet sein.
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lagrange
Ich habe das Taylorpolynom des natürlichen Logarithmus bis zum Grad n=4 nun genau so bestimmt, wie Frank es auch aufgeschrieben hatte. Allerdings hatte ich nun viel weiter aufgelöst. Wo hört man denn auf, spielt das eine Rolle?

In der Regel je grösser der Grad deines Taylorpolynoms, desto genauer deine Approximation.

Zitat:
Original von Lagrange
aber was ist x?


Du approximierst deine funktion f(x) = ln(x) mit deinem Polynom.
also ln(x) = P4(x) + R(x)
an der entwicklungsStelle x0

Zitat:
Original von Lagrange
1 Und was heißt dazwischen, welchen Wert nehme ich denn nun dafür an?
Und was sagt mir überhaupt der in der Aufgabenstellung gegebene Fehler
"|P4(2) - ln (2)|" ??

Das ist der Fehler / Abweichung welches dein Polynom von der URsprungsfunktion an der Stelle 2 hat.

Setz in dein Restgleid nun x0 = 1 x = 2 ein. dann hast du nur noch einen Ausdruck mit deinem psi stehen. diesen gilt es nach oben abzuschätzen Augenzwinkern
Lagrange Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Hilfe.

Ich habe bei 2 Aufgaben nun erfolgreich das Taylorpolynom bestimmt und dann den Fehler mit Lagrange abgeschätzt.

Ich denke ich habe es so einigermaßen verstanden.
Falls doch noch jemand Lust und Zeit hat meinen Post (2 vor diesem hier) zu kontrollieren um sicherzustellen dass ich den Unterschied zwischen Taylorreihe, polynom und Formel richtig verstanden habe, gerne.

Ansonsten ist das hier erledigt, danke euch.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lagrange
Das TaylorPOLYNOM lässt sich durch Benutzung folgender Formel bestimmen:
x0 ist Entwicklungspunkt.



Richtig. Das ist das Taylorpolynom n-ten Grades. Es gibt halt nicht das Taylorpolynom, sondern unendlich viele. Dasjenige ersten Grades, zweiten Grades, dritten Grades usw.


Zitat:
Original von Lagrange
Die Taylorsche Formel dagegen beinhaltet auch das Restglied, das an das Polynom (s.o) einfach addiert wird.


Nein. Die Taylorformel ist eine Gleichung. Du findest sie unter Taylorformel. Die hier ist es:


Zitat:
Original von Lagrange
Die Taylorreihe finde ich genau so definiert wie das Taylorpolynom ?!


Nein. Wozu dann zwei verschiedene Bezeichnungen?! Die Taylorreihe ist sozusagen "das Taylorpolynom unendlichen Grades". Sie lautet



Sie muss nicht für jede Funktion f und für jedes x existieren. Sie ist eine Potenzreihe. Deswegen existiert sie für jede unendlich oft diffbare Funktion f für jedes x mit |x| < r, wobei r von f abhängt.
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