Supremumsnorm

11.08.2009, 00:30

pidof

Supremumsnorm

Hi,
$\begin{eqnarray*} f \mapsto \sup_{x \in M}\|f(x)\|_Y \end{eqnarray*}$

ist die Supremumsnorm

Warum ist diese Definition äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} \|f\| = \sup_{x \in V\setminus\{0\}} \frac{\|f(x)\|_W}{\|x\|_V} = \sup_{\|x\|_V = 1} \|f(x)\|_W. \end{eqnarray*}$

Danke

11.08.2009, 11:06

Mazze

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Diese Definition ist sicher nicht äquivalent zu den unten genannten. Betrachte zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} f(x) = x, M = [0,2], V = \mathbb{R}, ||\cdot||_V = |\cdot| \end{eqnarray*}$

dann ist

$\begin{eqnarray*} \sup_{x \in M}|f(x)| = 2 \end{eqnarray*}$ aber

$\begin{eqnarray*} \sup_{||x||_V = 1}|f(x)| = 1 \end{eqnarray*}$

Du solltest erst einmal sauber aufschreiben welche Räume und welche Mengen verwendet werden. Ich schätze mal Du spielst auf folgendes an :

Definition der Operatornorm, für einen Operator $\begin{eqnarray*} T : X \to Y \end{eqnarray*}$ wobei X und Y normierte Räume sind. Dann heisst

$\begin{eqnarray*} ||T|| = \sup_{x \in X, x\neq 0}\frac{||Tx||_Y}{||x||_X} \end{eqnarray*}$

Operatornorm. Diese Norm lässt sich auch schreiben als

$\begin{eqnarray*} ||T|| = \sup_{||x||_X = 1}||Tx||_Y = \sup_{||x||_X \leq 1}||Tx||_Y \end{eqnarray*}$

Vielleicht untersuchst Du das Ganze ja auch nur endlichdimensional, also die induzierten Matrixnormen.

11.08.2009, 11:10

Gaußsche Zahl

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Anscheinend hast du die Boardregeln nicht genau genug gelesen!
Willst du jetzt am besten die Musterlösung von jmd. ???
Wo sind denn bitteschön deine eigenen Überlegungen und Ansätze???

Weißt du eigentlich was äquivalent bedeutet???

Dieses Forum ist, dazu da um gemeinsam Dinge zu erarbeiten und zu diskutieren, wenn du möchtest, dass dir jmd. blind die Musterlösungen aufschreibt, suche dir besser ein anderes Forum.

Zitat:

Hi, $\begin{eqnarray*} f \mapsto \sup_{x \in M}\|f(x)\|_Y \end{eqnarray*}$

Keine Ahnung was du da aufgeschrieben hast??

Ich kenne die Supremumsnorm als $\begin{eqnarray*} \Vert x \Vert_\infty = \sup_{t \in T}|x(t)| \end{eqnarray*}$

Mag sein dass das was du da oben schreibst auch die Sup. Norm sein soll, aber so ganz klar wird das ja nicht. Vielleicht kannst du das mal genauer erläutern!

Und hier mal der Tipp:

Um zu zeigen dass deine beiden Normen äquivalent sind musst du lediglich Zahlen mit $\begin{eqnarray*} 0 < m \le M \end{eqnarray*}$ n finden.... Schau dir einfach mal die Definition an.

11.08.2009, 14:10

Duedi

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@Gaußsche Zahl:

nett, dass du die Boardregeln so eisern verteidigst, doch ebenfalls sehr wichtig ist hier die Höflichkeit. Und am Anfang eines Posts drei Zeilen mit polemischen Geschrei (diesen Eindruck machen die 3 "?") zu füllen, halte ich für die Motivation des Fragestellenden und den potentiellen Helfern kontraproduktiv.
Darüber hinaus ist die Frage, die pidof stellt, eine grundsätzliche Frage. Die Klausel in den Boardregeln, auf die du anspielst, ist meines Erachtens auf Rechenaufgaben gemünzt. Bei solchen ist eine Eigeninitiative und das selbstständige Arbeiten für den Lernprozess unumgänglich. Bei grundsätzlichen Fragen wie der in diesem Thread gestellten ist es sehr oft sehr hilfreich, wenn man die Sichtweise eines erfahreneren Mathematikers wie mazze hören kann, die einem gelegentlich ein "Brett vor dem Kopf" abreißen.

11.08.2009, 14:44

WebFritzi

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RE: Supremumsnorm

Zitat:

Original von pidof
Hi,
$\begin{eqnarray*} f \mapsto \sup_{x \in M}\|f(x)\|_Y \end{eqnarray*}$

ist die Supremumsnorm

Warum ist diese Definition äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} \|f\| = \sup_{x \in V\setminus\{0\}} \frac{\|f(x)\|_W}{\|x\|_V} = \sup_{\|x\|_V = 1} \|f(x)\|_W. \end{eqnarray*}$

Wenn du eine Definition zitierst, dann bitte auch komplett.

1. Was ist Y?
2. Was ist M?
3. Was für eine Abbildung ist f?
4. Was sind W und V?

Ich mutmaße:

1. Ein normierter Raum
2. Die Einheitskugel (oder der Rand derer) des normierten Raumes X, auf dem f definiert ist.
3. Eine lineare.
4. W = Y und V = X.

In diesem Fall sind die beiden Definitionen äquivalent. Allerdings ist das dann nicht die Supremumsnorm über X, sondern nur über M (oder den Rand von M).

11.08.2009, 15:54

Gaußsche Zahl

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Zitat:

nett, dass du die Boardregeln so eisern verteidigst

Anhand Web Fritzis Posting erkennt man doch, dass außer Mutmaßungen leider kaum etwas möglich ist.

Zitat:

1. Was ist Y? 2. Was ist M? 3. Was für eine Abbildung ist f? 4. Was sind W und V?

Und für ein Hochschulforum sollte es dann doch möglich sein mal zu posten was was ist.

Insofern war mein Hinweis durchaus eine Hilfestellung und keine Polemik!

11.08.2009, 16:40

Duedi

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Ich stimme dir ja auch zu, nur fand ich deinen Tonfall nicht angemessen. Vielleicht interpretiere ich auch zuviel Bedeutung in "???" hinein, für mich wirkt sowas aber immer aggressiv.

11.08.2009, 16:54

Bjoern1982

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Zitat:

Vielleicht interpretiere ich auch zuviel Bedeutung in "???" hinein

Ganz genau das habe ich mir gerade auch gedacht, warum müllt man dann alles mit zig Fragezeichen und laufend AUsrufezeichen voll wenn man doch eigentlich nur ganz sachlich und helfend eingreifen wollte verwirrt

Ein Punkt am Ende eines Satzes und genau ein Fragezeichen würden wohl dem entsprechen, was der gesunde Menschenverstand mit "normalen, nicht wertenden, sachlichen Hinweisen" verbindet.

Zitat:

Und für ein Hochschulforum sollte es dann doch möglich sein mal zu posten was was ist.

Es gibt sicher auch viele Dinge die du eigentlich wissen SOLLTEST.
Eine Wertung bezüglich dessen, wie jemand als perfekter Forenuser auftreten sollte ist in meinen Augen vollkommen unangebracht und wird sicher nicht dazu beitragen, dass der Fragesteller noch sonderlich Lust hat unglücklich

12.08.2009, 12:13

Gaußsche Zahl

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O.k. dann war ich wohl etwas zu "harsch" es war aber nicht böse gemeint! (Nur ein Ausrufezeichen) Augenzwinkern

Außerdem:

So Leute wie Webfritzi könnnen sich vlt. herleiten was gemeint war,
ich hingegen hätte die Aufgabe selber gerne bearbeitet, habe sie aber nicht so richtig verstanden, da nur Ausschnitte gepostet wurden..

Es soll ja jeder von so einem Threat "lernen", das ist doch unser Ziel: Gemeinsam die Dinge und Probleme erarbeiten, auch wenn man nicht gleich alles kann/versteht.

Also Sry wenn ich jmd. auf die Füße getreten bin. Mit Zunge

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