Norm mit konvexer Menge |
| 06.06.2004, 21:29 | HabNeFrage | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Norm mit konvexer Menge Sei A eine Teilmenge des R^n, die - punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist, - konvex ist, - eine Kugel mit Radius epsilon>0 um den Koordinatenursprung enthält, - in einer Kugel mit Radius R>0 um den Koordinatenursprung enthalten ist. Für x aus R^n setze ||x|| := inf{ a in R+0 | x in aA} Zeige, dass ||.|| eine Norm auf dem R^n ist. R+0 sind die positiven Zahlen mit Null. Ich weiss, dass ich nur die Normaxiome prüfen muss. Das erste hab ich auch schon: Ist x=0, dann ist x in 0A, also ist das Infimum gleich 0, also ist ||x|| = 0. Wie mach ich nun weiter??? |
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| 07.06.2004, 03:48 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du musst für noch folgendes zeigen: (1) Aus folgt . (2) Für gilt (3) . (1) und (2) sollten für dich nicht allzu schwer sein. Ich denke, zu (2) brauchst du keine Tipps. Für (1) benutze, dass A in einem Kreis um 0 mit Radius R liegt und verwende die euklidische Norm. Ist ein Kreis um 0 mit Radius r, so ist noch zu bemerken, dass . (3) will ich dir gerne zeigen. Zunächst beweisen wir, dass für Zahlen gilt: . Die Inklusion "" ist trivial. Sei nun . Dann gibt es , so dass . Alle Vektoren mit liegen in A, da A konvex ist. Also folgt . Das zeigt die Inklusion "". Seien nun und gegeben. Weiter sei und . Dann ist und . Wegen folgt nun aus der Definition der Norm . Mit folgt die Behauptung. |
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| 07.06.2004, 10:02 | HabNeAntwort | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke WebFritzi, das hilft mir viel weiter. Ich versuch mal (1). Ich habe einen Vektor x, der ||x|| = 0 hat. Von dem weiss ich also, dass x in aA liegt, für jedes a>0. Da A in einer Kugel B_R(0) liegt, liegt aA in der Kugel aB_R(0), und das ist dasselbe wie B_aR(0). Die Radien dieser Kugeln gehen gehen 0, wenn a immer kleiner wird. Also ist x = 0. Bei (2) komm ich so weit: Sei lambda eine reelle Zahl. Sei ||x|| = a1. Dann ist x in (a1+e)A für jedes e>0. Also ist lambda x in lambda(a1+e)A = (lambda*a1 + lambda*e)A. Also ist ||lambda x|| <= lambda*a1, weil das ja für jedes e galt. Wie krieg ich nun die andere Richtung, also ||lambda x| >= lambda*a1? |
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| 07.06.2004, 17:14 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » |
(1) hast du richtig gezeigt. So dachte ich mir das. Nur etwas mathematischer wäre nicht schlecht. Arbeite mit der euklidischen Norm. Zeige, dass aus folgt, dass . Das hast du im Grunde genommen schon gemacht. Aber etwas schwammig. Zu (2): Du brauchst hier keine Abschätzungen. Denke daran, dass du aus jedem Infimum positive Konstanten rausziehen kannst. Beispiel: Sei c > 0. Dann gilt . |
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| 09.06.2004, 16:59 | HabNeFrage | Auf diesen Beitrag antworten » |
(1) nochmal: Ich habe einen Vektor x, der ||x|| = 0 hat. Von dem weiss ich also, dass x in aA liegt, für jedes a>0. Da A in der Kugel B_R(0) liegt, ist also die euklidische Norm von jedem Element von A kleiner als R. Da x in aA liegt, ist also x/a in A, also ist ||x/a||_2 < R, also ||x||_2 < aR. Und mit a gegen 0 geht das auch gegen 0. Deshalb ist ||x||_2 = 0, und x = 0. (2) besser: Ich schreibe a = |l|b in dem Infimum: ||lx|| = inf{ a | lx in aA } = inf{ |l|b | lx in |l|bA } = |l| inf{ b | lx in |l|bA } Wie bekomm ich nun lx in |l|bA <==> x in bA? Fuer positives l ist das offensichtlich, und fuer negatives l brauch ich, dass A punktsymmetrisch ist. Also ist ||lx|| = |l| inf{ b | x in bA } = |l| ||x||. Fertig. (3) ist ja das schwierigste. Danke dass du das gemacht hast. Eine Frage hab ich noch: Wofuer brauch man eigentlich, dass A diese epsilon-Kugel enthaelt? Das haben wir ja nicht benutzt, oder? |
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| 10.06.2004, 14:54 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » |
Als Korrektor hätte ich dir schon deinen ersten Anlauf für Teil (1) durchgehen lassen, aber wenn du dich direkt auf die euklidische Norm beziehst, wird's auf jeden Fall klarer. Die Bedingung, dass A eine Kugel um 0 enthält, brauchst du, damit die Norm überhaupt eine Funktion wird: Du hast nämlich vergessen, nachzuweisen, dass dieses Infimum stets eine reelle Zahl ist. Wenn jetzt A = [-1,1] x {0} eine Strecke ist, erfüllt diese Menge die anderen drei Bedingungen, aber für den Punkt x = (0,1) existiert kein a mit x in aA, also ist das Infimum (der leeren Menge) unendlich. Du musst also noch nachweisen, dass für jedes x des R^n überhaupt ein a existiert, so dass x in aA liegt. Gruss, SirJective PS: Übrigens ist die abgeschlossene Hülle von A genau die abgeschlossene Einheitskugel bezüglich der Norm ||.||, also , aber das nur so nebenbei :P |
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| 10.06.2004, 15:36 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » |
@HabNeFrage: Gut so! 
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| 10.06.2004, 16:15 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » |
@WebFritzi: Wo wir gerade dabei sind - gilt auch die Umkehrung meines PS? Also: Ist die abgeschlossene Einheitskugel bzgl. einer Norm des R^n stets konvex, punktsymmetrisch zur 0, enthält eine euklidische Kugel und ist in einer euklidischen Kugel enthalten? Mit scheint das so zu sein. |
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| 11.06.2004, 15:29 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, das ist so. Das gilt sogar für alle endlichdimensionalen Vektorräume. Die Punktsymmetrie ist klar, die Konvexität ist eine einfache Folgerung der Dreiecksungleichung, und die Aussage mit den Kugeln folgt aus der Äquivalenz aller Normen auf einem solchen Raum. |
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