äquivalenzsatz für Homomorphismen

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MrMax Auf diesen Beitrag antworten »
äquivalenzsatz für Homomorphismen
Hallo
Der äquivalenzstz besagt ja, dass wenn eine Abb. von V nach V' ein Homomorphismus ist und dim(V) = dim(V') dass dann folgende Aussagen äquivalent sind

i) f-injektiv
ii) f-surjektiv
iii) f- bijektiv

Gilt das nun auch für Endomorphismen? also Hom f: V --> V ?

die haben ja auch die gleiche Dimension.

Würde mich noch interessieren, hoffe ihr könnt mir helfen.
Sicher? Auf diesen Beitrag antworten »
RE: äquivalenzsatz für Homomorphismen
Ja. Denn die Voraussetzung für diesen Satz ist ja nur . Und weil diese Bedingung erfüllt gilt der Satz auch für Endomorphismen.
MrMax Auf diesen Beitrag antworten »

also ist jeder Endomorphismus auch gleichzitig ein Isomorphismus? dann würde ja es ja gar keinen Sinn ergeben den Begriff Endomorphismus einzuführen oder?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein eine der Bedingungen muss ja immer noch gelten damit es ein Isomorphismus ist.

Wichtig ist übrigens das der Vektorraum endlich dimensional ist!
MrMax Auf diesen Beitrag antworten »

Aber diese Bedingungen gelten ja immer bei Endomorphismen, da dimV= dimV immer erfüllt ist.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein es muss i),ii) oder iii) zusätzlich gelten!
 
 
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen Vektorraum ist genau dann surjektiv, wenn er injektiv ist, genau dann injektiv, wenn er bijektiv ist, genau dann bijektiv, wenn er surjektiv ist u. s. w.

Wie folgerst Du daraus, dass jeder Endomorphimus bijektiv ist? verwirrt
MrMax Auf diesen Beitrag antworten »

ach ja... sorry mein Fehler stand kurz auf dem Schlauc, es heisst je folgende Aussagen sind äquivalent und nicht daraus folgt.
Sorry und danke für die Antrowrten
MrMax Auf diesen Beitrag antworten »

hallo ich bins nochmals, und habe erneut eine Frage dazu. in meinem Lehrbuch habe ich nämlich einen Satz gefunden, der besgt, dass endlich dimensionale Vektorräume V und V' genau dann isomorph sind, wenn sie gleiche Dimensionen haben.

Dann folgt ja aus diesem Satz dass ein Endomorphismus immer bijektiv ist? oder habe ich nun wieder etwas falsch verstanden?

Danke für mögliche Aufklärung
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Isomorphie heißt, dass ein Isomorphismus existiert. Also mindestens ein Homomorphismus ist bijektiv. Dass jeder Homomorphismus bijektiv sein muss, ist nicht gesagt, und es stimmt auch nicht.

Als simples Gegenbeispiel:



Weil f ein Endomorphismus ist, stimmen natürlich die Dimensionen von Quell- und Zielraum überein (1). Aber f ist weder surjektiv noch injektiv.
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