Tensorprodukt konkret berechnen

12.08.2009, 17:19

Laikaloup

Tensorprodukt konkret berechnen

(aus Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry)
Exercise 2.4:

Let k be a field, and let $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ denote (as usual) the ring of integers. Let m,n be integers. Describe as explicitly as possible:

a) $\begin{eqnarray*} Hom_\mathbb{Z}\left(\mathbb{Z}/(n),\mathbb{Z}/(m)\right) \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/(n)\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/(m) \end{eqnarray*}$

Leider habe ich wenig Erfahrungen mit diesen Begriffen, muss mich aber damit intensiv beschäftigen, wäre also dankbar, wenn man mir einen leichteren Zugang dazu ermöglichen könnte:

Zu a)
ich hab mir das zunächst umgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/(n)\to\mathbb{Z}/(m) \end{eqnarray*}$
jetzt wollte ich mir die Elemente betrachten, also in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/(n) \end{eqnarray*}$ die n Äquivalenzklassen. Ich habe mir das jetzt so vorgestellt, dass die Elemente, die vorher in n Äquivalenzklassen waren nun in m aufgeteilt werden. Aber mehr, weiß ich dazu nicht zu sagen...

zu b)
Ich weiß, dass es eine eindeutige bilineare Abbildung geben muss mit
$\begin{eqnarray*} \alpha:\mathbb{Z}/(n)\times\mathbb{Z}/(m)\to X, wobei X=\mathbb{Z}/(n)\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/(m) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bilinear.

aber leider habe ich überhaupt keinen Ansatz, wie ich auf die komme...was muss ich da rechnen? hat das irgendwas damit zu tun, wann $\begin{eqnarray*} x\otimes y \end{eqnarray*}$ Null wird (mit $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{Z}/(n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb{Z}/(m) \end{eqnarray*}$ ?

Bin für jeden Hinweis dankbar,

Barbara

13.08.2009, 09:09

Laikaloup

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weitere Idee
Guten Morgen,

ich hatte heute einen Geistesblitz, der mir glaub ich ein bisschen weiterhilft:
mir ist der chinesische Restesatz eingefallen, kann man den nicht hierbei benutzen?

zumindest unter der Annahme, das n und m teilerfremd sind, denn dann gilt doch:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/(n)\times\mathbb{Z}/(m) \end{eqnarray*}$ ist isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/((n)\cdot(m)) \end{eqnarray*}$

wäre dies, was ich suche?

jetzt ist nur noch das "klitzekleine" Problem, wenn sie nicht teilerfremd sind...

wie kann man denn dann $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/(n)\times\mathbb{Z}/(m) \end{eqnarray*}$ umformen? Gibt's da ne Regel zu?

Gruß,
Barbara

13.08.2009, 12:19

zwergnase

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RE: Tensorprodukt konkret berechnen
Hallo Barbara,

zur b) meine ich mich zu erinnern, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/(n)\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/(m) \cong \mathbb{Z}/{(n)+ (m)} \end{eqnarray*}$ ist, falls dir das was hilft.

Und dann denke ich, dass du Glück hast und $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/(n)\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/(m) \end{eqnarray*}$ sogar konkret ausrechnen kannst.
Vielleicht hilft dir das Beispiel: $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/(2)\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/(5) = 0 \end{eqnarray*}$ , denn betrachte:
$\begin{eqnarray*} (a + 2\cdot\mathbb{Z})\otimes_{\mathbb{Z}}(b+5\cdot\mathbb{Z}) = a\cdot b\cdot (1 + 2\cdot\mathbb{Z})\otimes_{\mathbb{Z}}(1+5\cdot\mathbb{Z}) = a\cdot b \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$ zum Schluss habe ich verwendet, dass hier $\begin{eqnarray*} 1\otimes_{\mathbb{Z}}1 = 0 \end{eqnarray*}$ (selber zeigen, unter Verwendung der Rechenregel für das Tensorprodukt) ist.

Ich kenne den chin. Restsatz noch nicht bin erst im zweiten Semester, aber vielleicht kannst du damit argumentieren, dass für alle teilerfremden n,m dann $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/(n)\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/(m) = 0 \end{eqnarray*}$ ist. Dann hast du quasi zwei Fälle; Tesorprodukt einmal gleich Null-Modul und einmal ungleich Null-Modul, würde ich vermuten.

Viele Grüße Wink

13.08.2009, 13:32

Laikaloup

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kleine Lösung zu RE: Tensorprodukt konkret berechnen
Hallo Zwergnase,

Zitat:

zur b) meine ich mich zu erinnern, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/(n)\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/(m) \cong \mathbb{Z}/{(n)+ (m)} \end{eqnarray*}$ ist, falls dir das was hilft.

wenn das stimmt, bin ich in der Tat "fertig", denn (n)+(m) ist gleich (ggt(n,m)).
dann ist
$\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/(n)\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/(m) \cong \mathbb{Z}/{(n)+ (m)}=\mathbb{Z}/ggt(n,m) \end{eqnarray*}$ Freude

was dann aber im teilerfremden Fall $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/(1) \end{eqnarray*}$ sein müsste, also doch iwie $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , also glech Nullmodul.
(was dann Dein Beipiel ja bestätigen würde)

Deine Rechnung versteh ich leider nicht so richtig, habe allerdings ein ähnliches Beispiel gefunden, was ich auf Deine Zahlen angewendet so ausführen würde. (und iwie muss die Rechnung ja "gleich" sein)

sei $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{Z}/(2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\in \mathbb{Z}/(5) \end{eqnarray*}$
dann $\begin{eqnarray*} x\otimes y= 1\cdot x\otimes y = (5-2\cdot2)(x\otimes y)=5(x\otimes y)-2\cdot2(x\otimes y)=(x\otimes 5y)-2(2x\otimes y)=(x\otimes 0)-2\cdot(0\otimes y)=0 \end{eqnarray*}$
und damit $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/(2)\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/(5) =\{0\} \end{eqnarray*}$

Aber woher weißt Du, dass dies: $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/(n)\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/(m) \cong \mathbb{Z}/{(n)+ (m)} \end{eqnarray*}$ gilt? Hast Du dafür mal einen Satz gehabt?

Liebe Grüße,

Barbara

bevor ich dazu einen Beitrag aufmache,
wie würdest Du denn

c) $\begin{eqnarray*} k[x]/(x^n)\otimes_{k[x]}k[x]/(x^m) \end{eqnarray*}$ angehen? verwirrt

13.08.2009, 13:54

zwergnase

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RE: kleine Lösung zu RE: Tensorprodukt konkret berechnen

Zitat:

Original von Laikaloup
Hallo Zwergnase,

Zitat:

zur b) meine ich mich zu erinnern, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/(n)\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/(m) \cong \mathbb{Z}/{(n)+ (m)} \end{eqnarray*}$ ist, falls dir das was hilft.

wenn das stimmt, bin ich in der Tat "fertig", denn (n)+(m) ist gleich (ggt(n,m)).

Für n,m natürliche Zahlen ja, habe es halt allgemeiner für belibige Ideale angegeben.

dann ist
$\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/(n)\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/(m) \cong \mathbb{Z}/{(n)+ (m)}=\mathbb{Z}/ggt(n,m) \end{eqnarray*}$ Freude

was dann aber im teilerfremden Fall $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/(1) \end{eqnarray*}$ sein müsste, also doch iwie $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , also glech Nullmodul.
(was dann Dein Beipiel ja bestätigen würde)

Deine Rechnung versteh ich leider nicht so richtig, habe allerdings ein ähnliches Beispiel gefunden, was ich auf Deine Zahlen angewendet so ausführen würde. (und iwie muss die Rechnung ja "gleich" sein)

sei $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{Z}/(2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\in \mathbb{Z}/(5) \end{eqnarray*}$
dann $\begin{eqnarray*} x\otimes y= 1\cdot x\otimes y = (5-2\cdot2)(x\otimes y)=5(x\otimes y)-2\cdot2(x\otimes y)=(x\otimes 5y)-2(2x\otimes y)=(x\otimes 0)-2\cdot(0\otimes y)=0 \end{eqnarray*}$
und damit $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/(2)\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/(5) =\{0\} \end{eqnarray*}$

Ist eigentlich die gleiche Rechenidee, also

Aber woher weißt Du, dass dies: $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/(n)\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/(m) \cong \mathbb{Z}/{(n)+ (m)} \end{eqnarray*}$ gilt? Hast Du dafür mal einen Satz gehabt?

Ist eine Folgerung aus irgendeinem Satz aus der LA2 in meiner Mitschrift. Ich denke es müsste aber in H.-J. Kowalski, G. Michler: Lineare Algebra (Gruyter) stehen.

Liebe Grüße,

Barbara

bevor ich dazu einen Beitrag aufmache,
wie würdest Du denn

c) $\begin{eqnarray*} k[x]/(x^n)\otimes_{k[x]}k[x]/(x^m) \end{eqnarray*}$ angehen? verwirrt

Hmmm, spontan würde ich erstmal nachprüfen ob $\begin{eqnarray*} x^m \end{eqnarray*}$ ein Ideal im Polynoring über einem Körper mit einer Unbestimmten ist, dann müssten man wahrscheinlich ähnlich wie in b) arbeiten können. Sofern du den Satz einfach ohne Beweis verwenden kannst/darfst/willst!

Viele Grüße
Wink

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