Verwandle die Dreierausdrücke in das Produkt zweier Klammern

12.08.2009, 22:44

besucher

Verwandle die Dreierausdrücke in das Produkt zweier Klammern

Hier ist er wieder einer der Eltern der mit den Aufgaben der der Tochter konfrontiert ist. Hilfe

Da sitze ich und sehe in der Aufgabe die Lösung.
Doch wie ist der mathematische Weg dahin?
Kann mir mal bitte jemand auf die Sprünge helfen? verwirrt

Die Aufgabe lautet Verwandle die Dreierausdrücke in das Produkt zweier Klammern.
a² + 12a + 35 =
a² + 9a + 18 =
a² - 10a + 21 =
u.s.w.

12.08.2009, 23:06

Leopold

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Betrachte sämtliche Möglichkeiten, das konstante Glied als Produkt ganzer Zahlen zu schreiben. Bei der ersten Aufgabe ist $\begin{eqnarray*} 35 \end{eqnarray*}$ das konstante Glied (d.h. ohne Variable $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ). Die möglichen Produktzerlegungen von $\begin{eqnarray*} 35 \end{eqnarray*}$ sind

$\begin{eqnarray*} r \cdot s = 1 \cdot 35 = (-1) \cdot (-35) = 5 \cdot 7 = (-5) \cdot (-7) \end{eqnarray*}$

Und jetzt versuchst du es mit $\begin{eqnarray*} (a-r)(a-s) = a^2 - (r+s)a + rs \end{eqnarray*}$ . Spiele nun sämtliche Kombinationen für $\begin{eqnarray*} r,s \end{eqnarray*}$ von oben durch. Wenn es mit einer klappt, hast du die Aufgabe gelöst. Im andern Fall ist die Aufgabe nicht elementar (d.h. ohne Wurzelrechnung) lösbar.

Ich erledige einmal den ersten Fall für dich:

$\begin{eqnarray*} (a-1)(a-35) = a^2 - 36a + 35 \end{eqnarray*}$

Nun, das ist schiefgegangen. Denn man möchte in der Mitte $\begin{eqnarray*} 12a \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} -36a \end{eqnarray*}$ haben.

Jetzt bist du dran.

12.08.2009, 23:26

besucher

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danke für die schnelle Antwort. Genau so habe ich es auch gemacht. Also ausprobiert. Ich dachte es gäbe eine Gleichung mit der man es knacken könnte.

13.08.2009, 08:29

BarneyG.

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Zitat:

Ich dachte es gäbe eine Gleichung mit der man es knacken könnte.

Leopold ist wohl gerade nicht online. Deshalb will ich das mal beantworten: Big Laugh

Man kann das tatsächlich mit einer "Gleichung" lösen. Und zwar ist das der Satz von Vieta. Er besagt (u.a.) folgendes:

Eine Gleichung x² + px + q = 0 habe die Lösungen x1 und x2. Dann gilt

x² + px + q = (x - x1) * (x - x2)

Die Lösungen der Gleichung x² + px + q = 0 kann man mit der Formel von Vieta finden:

x1 = -p/2 + Wurzel(p²/4 - q)
x2 = -p/2 - Wurzel(p²/4 - q)

Auf das erste Beispiel angewandt:

x² + 12x + 35 = 0

x1 = -6 + Wurzel(36 - 35) = -5
x2 = -6 - Wurzel(36 - 35) = -7

x² + 12x + 35 = (x + 5) * (x + 7)

Anmerkung: ich vermute mal, dass die Aufgaben aber nicht so gelöst werden sollen. Die Aufgaben sollen wohl so gelöst werden, wie das leopold angemerkt hat, um auf die Formel und den Satz von Vieta hinzuführen. Aber wenn Papa oder Mama nun durchaus nicht die Aufgaben des Töchterleins "erraten" können, dann ist das ja gar nicht so schlecht, wenn man sowas noch in der Hinterhand hat. Big Laugh

Grüße

13.08.2009, 17:38

Kopfrechner

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Zum Üben für die Faktorisierung nach Vieta findet man hier jede Menge Aufgabe und die Lösungen dazu:

http://www.mathe-trainer.de/Klasse9/Quad...k5/Aufgaben.htm

Gruß, Kopfrechner

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