lokale Extremstellen

13.08.2009, 10:29

ge88

lokale Extremstellen

Sei die Funktion $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R^2 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} f(x,y) = \exp(x^2 + y^2) \end{eqnarray*}$ fuer alle $\begin{eqnarray*} (x,y) \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie Lage und Art der lokalen Extremstellen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Die partiellen Ableitungen lauten

$\begin{eqnarray*} D_1 f(x,y) = \frac{\partial}{\partial x} f(x,y) = 2x \cdot \exp(x^2 + y^2) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} D_2 f(x,y) = \frac{\partial}{\partial y} f(x,y) = 2y \cdot \exp(x^2 + y^2) \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} \exp(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, gilt

$\begin{eqnarray*} D_1 f(x,y) = D_2 f(x,y) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = y = 0 \end{eqnarray*}$ , d.h. die Funktion koennte nur ein Extremum, und zwar in (0,0), haben.

Sei

$\begin{eqnarray*} M_1 := D_1 D_1 f(x,y) = (2 + 4x^2) \exp(x^2 + y^2) \end{eqnarray*}$

und weiter sei

$\begin{eqnarray*} M_2 := D_1 D_1 f(x,y) D_2 D_2 f(x,y) - D_1 D_2 f(x,y) D_2 D_1 f(x,y) \\ = \left( \exp(x^2 + y^2) \right)^2 (2+4x^2)(2+4y^2) - 8xy \cdot \exp(x^2 + y^2) \end{eqnarray*}$

Es gilt $\begin{eqnarray*} M_1, M_2 > 0 \end{eqnarray*}$ , deshalb hat f in (0,0) ein lokales Minimum.
Ist das ok? Sollte eigentlich sehr einfach sein, ich habe aber keine Erfahrung mit mehrdimensionalen Aufgaben.
Danke!

13.08.2009, 13:00

wogir

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Das Extremum stimmt und es ist ein Minimum.
Aber um letzteres zu sehn, musst du zeigen, dass die Hesse-Matrix positiv definit ist. An $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ kannst du das nicht ablesen und auch die Determinante $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ reicht nicht.

Gruß

13.08.2009, 13:20

Cordovan

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Es gibt das Hurwitz-Kriterium: sind bei einer Matrix alle Hauptminoren positiv, dann ist die Matrix positiv definit. Im Fall 2x2 bedeutet das genau das, was du nachgerechnet hast. Also ist dein Rechenweg richtig.

Cordovan

13.08.2009, 13:26

wogir

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Aha, interessant. Kannte ich bis jetzt auch noch nicht. Man lernt jeden Tag was Neues.

13.08.2009, 13:59

ge88

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Zitat:

Original von Cordovan
Es gibt das Hurwitz-Kriterium: sind bei einer Matrix alle Hauptminoren positiv, dann ist die Matrix positiv definit.

Ich denke, das war bei der Aufgabe gemeint, denn der Hinweis war nur $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.
Also gut, danke!

Zitat:

Original von wogir
Man lernt jeden Tag was Neues

Ja, besonders hier smile

Echt cool!

edit:
Es faellt mir jetzt auf, dass $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ oben falsch ist.
$\begin{eqnarray*} M_2 = \left( \exp(x^2 + y^2) \right)^2 \cdot (2 + 4x^2)(2+4y^2) - 16 x^2 y^2 \left( \exp(x^2 + y^2) \right)^2 \end{eqnarray*}$ ,
wobei das aendert nichts, aber es soll lieber richtig fuer die Ewigkeit bleiben.

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