Taylor-Reihe

13.08.2009, 12:00

FrankyHill

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Taylor-Reihe

Hallo, ich habe folgende Aufgabe gegeben:

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x*e^{x} \end{eqnarray*}$ um den Punkt $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$

Bin jetzt so vorgegangen das ich erstmal die ertsen 3 Ableitungen der Funktion gebildet habe um eine Regelmäßigkeit zu erkennen:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=(1+x)e^{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=(2+x)e^{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=(3+x)e^{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{k}(x)=(k+x)e^{x} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich das jetzt in eine Taylor-Reihe überführen. Soll ja in etwa so aussehen.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^ \infty ~\frac{f^{k} (x_0)}{k!} (x-x_0)^{k} \end{eqnarray*}$

13.08.2009, 12:04

Duedi

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Such dir erstmal einen günstigen Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ (falls du keine Vorgaben hast) und setze einfach in die Formel ein.

13.08.2009, 12:11

FrankyHill

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^ \infty ~\frac{(k+0)e^{0} }{k!} (x)^{k} \end{eqnarray*}$

Würde dann etwa so aussehen!
Stimmt das??

13.08.2009, 12:11

Duedi

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Für $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ stimmt das, lässt sich aber noch etwas vereinfachen.

13.08.2009, 12:17

FrankyHill

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Also

$\begin{eqnarray*} (k+0) = k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{0} =1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ \frac{k}{k!} x^{k} \end{eqnarray*}$

richtig??

13.08.2009, 12:20

Duedi

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Mit den Fakultäten kannst du noch ein wenig arbeiten.

EDIT: Und k=0 weglassen

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13.08.2009, 12:24

FrankyHill

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Das k ganz weg oder zu k=1 ändern??

13.08.2009, 12:33

Duedi

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Erstmal den Summanden mit k=0 weglassen, weil der ohnehin 0 ist.
Dann benutzen, dass $\begin{eqnarray*} k! = k\cdot (k-1)! \end{eqnarray*}$ gilt

13.08.2009, 12:42

FrankyHill

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Das k muss aber doch nen Wert haben oder nicht? Hätte das jetzt so gedacht

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~ \frac{1}{(k-1)!} x^{k} \end{eqnarray*}$

13.08.2009, 13:19

Duedi

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Weiß zwar nicht, was du meinst, aber dein Ergebnis ist richtig.
EDIT: Achja: wie kannst du jetzt dein Ergebnis verifizieren? Kennst du die Reihe der Exponentialfunktion?

13.08.2009, 13:59

FrankyHill

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Die sieht doch so aus , oder?

$\begin{eqnarray*} exp(x)=\sum_{k=0}^\infty ~ \frac{x^{k}}{k!} \end{eqnarray*}$

Ist das nicht das selbe, wie ich schon vorher raus hatte?

13.08.2009, 14:21

Jacques

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Hallo,

Dein Zwischenergebnis war

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}\, \frac{k \cdot x^k}{k!} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}\, \frac{x^k}{(k-1)!} \end{eqnarray*}$

Also nicht dasselbe. Und Du bildest ja auch nicht die Reihe der “reinen” Exponentialfunktion exp, sondern die der Funktion f: x --> x * exp(x).

13.08.2009, 14:54

FrankyHill

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Stimmt, hab ich übersehen.

Habe zum Thema Tayor Reihe noch eine andere Aufgabe, wo ich nicht weiter komme:

Sei $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x-5}{(x-3)(x-1)} , x \in \mathbb R \left\{ 1,3\right\} \end{eqnarray*}$

1. Man gebe die Partialbruchzerlegung von f an.
2. Man erstelle die Taylorreihe von f um $\begin{eqnarray*} x_0=2 \end{eqnarray*}$ , für welche $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ konvergiert die Reihe? Die ersten 5 Glieder sind anzugeben.

Zu 1.)

$\begin{eqnarray*} \frac{x-5}{(x-3)(x-1)} = \frac{A}{(x-3)} + \frac{B}{(x-1)}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-5= A(x-1)+B(x-3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=-1 , B=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)= -\frac{1}{x-3} +\frac{2}{x-1} \end{eqnarray*}$

Soweit so gut, aber wie gehe ich bei der 2.) jetzt vor?

13.08.2009, 15:16

Ungewiss

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Das wird man wohl wie bei deiner ersten Aufgabe durch ausrechnen der Ableitungen hinkriegen können. Und dann den Konvergenzradius der Taylorreihe bestimmen.

Bin mir nicht sicher, ob der Weg auch korrekt wäre, vielleicht kann da jemand was zu sagen?

$\begin{eqnarray*} f(x)= -\frac{1}{x-3} +\frac{2}{x-1}= \frac{1}{1-(x-2)} +\frac{2}{1+(x-2)}=\sum_{k=0}^\infty (x-2)^k+2\sum_{k=0}^\infty (-1)^k(x-2)^k \end{eqnarray*}$

(wollte jetzt nicht mehr hinschreiben, da ich mir unsicher bin, ob ich, falls die Vorgehensweise korrekt wäre, schon zuviel verrate)

13.08.2009, 15:27

FrankyHill

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Ich hätte jetzt gedacht das ich durch die Umformung von $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{x-1} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^ \infty ~x^{k} \end{eqnarray*}$ die geometrische Reihe Nutzen kann. Sieht ja eigentlich ähnlich aus:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^ \infty ~q^{k} =\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

13.08.2009, 15:34

Ungewiss

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Ich habe auch so umgeformt, dass man die Summenformel für die geometrische Reihe anwenden kann, denmach hatten wir da schon die gleiche Idee (du musst nur noch bedenken, dass der Entwicklungspunkt 2 und nicht 0 ist, in der Reihe also Potenzen von $\begin{eqnarray*} (x-2) \end{eqnarray*}$ vorkommen sollten). Die Frage ist nur, ob man das darf, oder ob man auch hier ein Muster in der Ableitung erkennen muss wie bei deiner ersten Aufgabe. (edit: Wobei sich dann natürlich die Frage nach dem Sinn der PBZ stellt)

Ich hoffe mal, dass sich noch ein kompetenterer User zu Wort meldet smile

smile

13.08.2009, 15:39

FrankyHill

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Mmh, habe leider keine Musterlösung deshalb weiß ich jetzt auch net mehr weiter. Hat noch wer ne Idee dazu?

13.08.2009, 18:18

MonkeyMan

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Zitat:

Original von Ungewiss
Die Frage ist nur, ob man das darf, oder ob man auch hier ein Muster in der Ableitung erkennen muss wie bei deiner ersten Aufgabe

Wieso sollte man das nicht dürfen und warum musste man bei der ersten Aufgabe ein Muster in der Ableitung erkennen?

Bei der ersten kann man am besten einfach ein x in die bekannte Exponentialreihe mutliplizieren.

Und bei der zweiten ist eigentlich auch schon alles gesagt. (Für geduldige Rechner mag es eine nette Übungsaufgabe sein die Ableitungen auszurechnen und an der Stelle 2 auszuwerten. Ich würde davon Abstand nehmen.)

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