nirgends dicht

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mathg Auf diesen Beitrag antworten »
nirgends dicht
Hi,

1.
Eine nirgends dichte Menge ist eine Menge, deren Abschluss einen leeren inneren Kern hat.

Jetzt versthe ich nicht was dies genau anschaulich bedeutet.
Wenn mir jemand eine anschaulich erklärung dazu geben würde?

2.
Also wenn eine Menge dicht in eine anderen liegt sagen wir die Menge X liegt dicht in Y.
Bedeutet ja das der Abschluss von X gleich Y ist.

Ich hab jetzt eine anschauliche erklärung für dicht gefunden:
Also es bedeutet, dass ich jedes Element von Y duch Elemente von X annähern kann.

Jetzt versteh ich aber nicht wie dies mit der Definition von Dicht übereinstimmt.

Ich habe immer topologische Räume zu grunde.

vielen Danke für eure Hilfe
Gaußsche Zahl Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn mir jemand eine anschaulich erklärung dazu geben würde?


Schau dir mal die folgende Menge an

am besten du zeichnest dir die Menge mal ein, das ist ein entsprechendes Beispiel für eine nirgends dichte Menge.


Zitat:
Bedeutet ja das der Abschluss von X gleich Y ist.


Ja.


Zitat:
Also es bedeutet, dass ich jedes Element von Y duch Elemente von X annähern kann.


Was meinst du mit annähern??


Die Definition von dicht spricht doch schon für sich.
http://de.wikipedia.org/wiki/Dicht_%28Mathematik%29
 
 
Gaußsche Zahl Auf diesen Beitrag antworten »

..betrachte auch nochmal die Mengen und versuche dir klar zu machen warum dicht in liegt.
mathg Auf diesen Beitrag antworten »

danke für deine Antwort

Also es bedeutet, dass ich jedes Element von Y duch Elemente von X annähern kann.

Ich meine:
Jede Umgebung in Y enthält einen Punkt aus X.

aber was ich dann nciht versteh was diese Anschaulich bedeutung mit dem Abschluss von X zu tun hat.

Dein Beispie ist ein Kreis in R^2 ok und der liegt nicht dicht in R^2.

Und das bedeutet nirgens dicht.
aber eigedlich geht es mir auch darum warum man überhaupt nirgens dichte Mengen definiert
was ist der Vortail bzw der Nachteil von nirgens dichten Mengen.
bzw verwirrt es mich auch, dass nirgens dicht nicht bezüglich eine Obermenge definiert ist.

wenn X eine Menge und M eine nirgens dichte Menge ist ist dann X\M eine dichte Menge in X.

(bin mir nicht ganz sicher) aber ist eine nirgens dichte Menge nicht entweder leer oder abgeschlossen?

wenn das so ist müsste ja X\M in X dicht liegen weil wenn ich den abschluss bilde ja
abschluss von X\M ja dann weider X ist, oder?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathg
(bin mir nicht ganz sicher) aber ist eine nirgens dichte Menge nicht entweder leer oder abgeschlossen?


Nein. Betrachte die Menge
mathg Auf diesen Beitrag antworten »

mh das verstehe ich nicht ganz
ich würde auch sagen, das diese Menge abgeschlossen ist bzw. könnte nicht beweisen oder sehe nicht, dass sies nicht ist.
wenn ich die Menge M nenne ist doch auch R\M offen und damit M abgeschlossen.

viel wichtiger finde ich aber die Definition nirgens dichter Mengen.

ich verstehe einfach nicht, was das bedeutet.

also warum wir nirgens dicht nur als eigenschaft einer Menge definiert wären dicht die eigenschaft bzgl einer Obermenge ist.

also zb Q liegt dicht in R aber zb nicht in C oder? wären nirgens dicht ja nur die eigenschaft der Menge ist.

außerdem farge ich wo der zusammenhang zwischen

dicht bedeutet, dass ich jedes Element von Y duch Elemente von X annähern kann.
(X und Y wie vorher)

und der Abschluss von X ist gleich Y

liegt.
Gaußsche Zahl Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
würde auch sagen, das diese Menge abgeschlossen


Das stimmt nicht!


Definition: Eine Teilmenge von heißt abgeschlossen, wenn der Grenzwert jeder konvergenten Folge von Punkten ebenfalls in A liegt. Ferner heißt auch die leere Menge abgeschlossen.


So und jetzt bilde mal bitte den Grenzwert?! Augenzwinkern Außerdem kannst du auch sehen, dass die leere Menge sowieso abgeschlossen ist.
mathg Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok.. klar
der grenzwert eine Folege 1/n ist 0
ok...
...aber irgenwei hilft mir dieses Beispiel nicht "nirgens dicht" zu verstehn
Gaußsche Zahl Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
wenn ich die Menge M nenne ist doch auch R\M offen und damit M abgeschlossen




Also so da die null in der Menge nicht drinliegt ist sie auch nicht abgeschlossen.

Nur mal so als Tipp unsere Menge M ist weder offen noch abgeschlossen.

Warum ist M denn nun nicht offen? Versuch mal um jeden Punkt eine - Umgebung zu finden die in M enthalten ist.


Zitat:
viel wichtiger finde ich aber die Definition nirgens dichter Mengen. ich verstehe einfach nicht, was das bedeutet.


Also die Definition sagt doch nur aus wann eine Menge nirgends dicht ist. Und eine Menge ist nirgends dicht wenn eben der innere Kern des Abschlusses die leere Menge ist.
Hast du also eine beliebige Menge gegeben nimmst du den Abschluss und prüfst das einfach nach.


Zitat:
also warum wir nirgens dicht nur als eigenschaft einer Menge definiert wären dicht die eigenschaft bzgl einer Obermenge ist.


Also ganz sicher bin ich mir da nicht, aber dicht ist einfach anders definiert als nirgendsdicht, genauso wie Cauchy Folge anders definiert ist wie Konvergenz. Eine Definition sollte man erstmal aktzeptieren und später werden die Zusammenhänge vlt. deutlicher. Bis zu deinem Posting kannte ich den Begriff "nirgends dicht" auch nicht.

Zitat:
also zb Q liegt dicht in R aber zb nicht in C oder

... du musst einfach die Definition benutzen der Abschluss von ist und nicht .

Warum sollte deiner Meinung nach der Abschluss die komplexen Zahlen sein?



Zitat:
dass ich jedes Element von Y duch Elemente von X annähern kann.


was du mit annähern meinst weiß ich nicht?
mathg Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also die Definition sagt doch nur aus wann eine Menge nirgends dicht ist. Und eine Menge ist nirgends dicht wenn eben der innere Kern des Abschlusses die leere Menge ist. Hast du also eine beliebige Menge gegeben nimmst du den Abschluss und prüfst das einfach nach.


jo schon klar, aber ich verstehe nicht was dies mir bringt
ich kenn auch nur die Definition und keine weitere anwendung
außer dem bairescher Kategoriensatz
der dann halt besagt das ich eine vollständigen metrischer Raum nicht mit nur nirgens dichten Mengen überdecken kann
ich glaube auch irgenwo gelesen zu haben, dass eine nirgens dichte Menge in keine offenen Menge dicht enthalten ist.
aber das verstehe ich nicht

also es wäre schön wenn mir jemand sagen könnte was diesen Begriff motiviert

Zitat:
Zitat:
dass ich jedes Element von Y duch Elemente von X annähern kann.
was du mit annähern meinst weiß ich nicht?


Jede Umgebung in Y enthält einen Punkt aus X.

und da versthe ich nicht den ZUsammenhang das der Abschluss von X gleich Y ist
Cordovan Auf diesen Beitrag antworten »

Den Abschluss einer Menge erhältst du, wenn du zu einer Menge sämtliche Häufungspunkte, also Grenzwerte von Folgen in der Menge, hinzunimmst. Folglich ist jeder Punkt des Abschlusses ein Grenzwert einer Folge in der Menge.

Das bedeutet, dass du mit Elementen aus der Menge beliebig nah an jeden Häufungspunkt herankommen kannst. Es gibt ja schließlich eine Folge, die dagegen konvergiert! Das ist mit annähern gemeint.

Cordovan
mathg Auf diesen Beitrag antworten »

schonaml vielen dank für die zahlreichen antworten
aber das mit nirgens dicht ahb cih immer ncoh nicht verstanden
mathg Auf diesen Beitrag antworten »

hat denn niemand eine motivation oder eine anschauliche erklärung für das Konzept der nirgends dichten Menge?
oder ist meine Frage zu undeutlich?
addor Auf diesen Beitrag antworten »

Also, im Lutz Führer ("Allgemeine Topologie mit Anwendungen", vieweg, 1977) steht folgende Definition:
X topologischer Raum, . A heisst nirgends dicht (in X), wenn A in keiner nichtleeren offenen Teilmenge von X dicht ist (A heisst dicht in B, wenn ).

"nirgends dicht" ist also durchaus relativ zu einem Oberraum definiert.

Anwendungen (im Führer) und damit mögliche Motivationen:

1. Der Rand einer abgeschlossenen Menge in X ist stets nirgends dicht

2. Eine abgeschlossene Menge ist genau dann nirgends dicht, wenn ihr Komplement dicht ist

3. Sei X ein topologischer Raum und Y ein pseudometrischer Raum. Die Menge aller Abbildungen zwischen X und Y werde mit Abb(X,Y), die Menge der stetigen Funktionen von X nach Y mit
C(X,Y) und die Menge der Punkten aus X, in denen ein f aus Abb(X,Y) unstetig ist, mit Unst(f) bezeichnet.
Konvergiert dann eine Folge stetiger Funktionen aus C(X,Y) gegen ein f aus Abb(X,Y), so ist Unst(f) als abzählbare Vereinigung nirgends dichter Mengen darstellbar.
Das folgt aus dem Satz von R. Baire

4. Ein vollständiger (pseudo-)metrisierbarer topologischer Raum ist nicht als abzählbare Vereinigung nirgends dichter Mengen darstellbar

5. Der Raum ist abgeschlossener und daher vollständiger metrischer Unterraum der beschränkten reellwertigen Funktionen auf dem Interval . Für sei .
Man kann zeigen, dass in nirgends dicht ist. Daher ist dicht in , d.h. eine dichte Teilmenge dieses Raumes besteht aus Funktionen, die stetig und nirgends differenzierbar sind.
mathg Auf diesen Beitrag antworten »

danke danke
das hat mir wirklich weitergeholfen
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehst du denn auch, warum die Definition

Zitat:
Original von addor
X topologischer Raum, . A heisst nirgends dicht (in X), wenn A in keiner nichtleeren offenen Teilmenge von X dicht ist (A heisst dicht in B, wenn ).


von "nirgends dicht" zu deiner äquivalent ist?
mathg Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habs mir halt so erklärt
wenn das inner leer ist dann ist B offen
und wenn angenommen ) für ein offenes B
dann hat das innere [latex]\overline{A}{\latex] ja zumendest die elemnte von B.

hab ich mir das so richt erklärt?

ich hab auch noch zusätzlich eine "anschaulich" erklärung für nirgens dichte Mengen gefunden...weist aber nciht mehr wo
und zwar bedeutet nirgens dicht das die Menge "Lücken" hat.
was das aber bedeutet war mir nicht so ganz klar.

vieleicht kann mir das noch jemand erklären?

nochmal danke an Alle
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathg
und zwar bedeutet nirgens dicht das die Menge "Lücken" hat.
was das aber bedeutet war mir nicht so ganz klar.


Beispiel: Cantor-Menge
mathg Auf diesen Beitrag antworten »

ok das wäre ein beispiel
aner es wird mir immer noch nicht klar was topologisch "Lücke" bedeutet.
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe etwas gefunden:

und
( I nicht-leer und offen) (J nicht-leer und offen) mit

Beispiele fuer nirgends-dichte Mengen in :
.

Und hier noch etwas (Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis):

Zitat:
Sei R eine Menge, die

[...]

* keine Lücken hat, d. h. wenn R partitioniert ist in zwei nichtleere Teilmengen A und B, so dass jedes Element von A kleiner als jedes Element von B ist, dann gibt es ein Element c, so dass jedes Element, das kleiner als c ist, in A und jedes Element, das größer als c ist, in B liegt. Dabei ist c entweder aus A oder aus B (ein sogenannter Dedekindscher Schnitt).

[...]
mathg Auf diesen Beitrag antworten »

ah vielen dank
also im prinziep kann man sagen das lücke bedeutet dass sich wenn amn eine Menge mit Lücke hat und sie partitioniert nich berühren
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathg
also im prinziep kann man sagen das lücke bedeutet dass sich wenn amn eine Menge mit Lücke hat und sie partitioniert nich berühren


Unglaublich... unglücklich
mathg Auf diesen Beitrag antworten »

oh entschuldigung
war wohl ziemlich müde smile

hab dann auch net mehr gelesen was ich da für einen Müll geschreiben habe

ich meine natürlich

wenn ich eine Menge mit Lücken habe und diese dann partitioniere in zwei Teilmengen
bedeutet Lücke dann, dass sich die Teilmengen nicht berühren

ich entschuldige mich nochmal
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