Gleichungssystem mit Parameter auflösen

13.08.2009, 18:34

Sonnenschein1

Gleichungssystem mit Parameter auflösen

Hallo,
ich bin gerade dabei ein Gleichungssystem mit Parameter aufzulösen.

Dabei möchte ich herausfinden, für welche Werte von t das Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} A_t*x=b_t \end{eqnarray*}$
- unendlich viele Lösungen
- keine Lösungen
- genau eine Lösung hat

und den Lösungsvektor für den Fall der eindeutigen Lösbarkeit berechnen.

Ich habe nun angefangen das Gleichungssystem aufzustellen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2t & 0 \\ 1 & t^2 & t \\ 4 & 16 & t \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} t \\ -t \\ 2t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nun habe ich die zweite Zeile mit -1 multipliziert und zur 1. Zeile addiert.

Es ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2t & 0 \\ 0 & -t^2+2t & -t \\ 4 & 16 & t \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} t \\ 2t \\ 2t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich die erste Zeile mit -4 multipliziert zur der 3. Zeile addiert

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2t & 0 \\ 0 & -t^2+2t & -t \\ 0 & -8t+16 & t \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} t \\ 2t \\ -2t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da ich auf die obere Dreiecksgestalt kommen möchte, habe ich nun die zweite mit der dritten Spalte vertauscht und dann die zweite Zeile zur 3. Zeile addiert.

Die Vertauschung der Spalten merke ich mir für den Schluss, da nun ja $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ an zweiter Stelle steht und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ an dritter Stelle.

Es ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2t \\ 0 & -t & -t^2+2t \\ 0 & t & -8t+16 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} t \\ 2t \\ -2t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2t \\ 0 & -t & -t^2+2t \\ 0 & 0 & -t^2-6t+18 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} t \\ 2t \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so, was ich bis jetzt gerechnet habe?

Jetzt bin ich mir aber nicht ganz sicher, wie ich weitermachen muss.

Ich weiß, dass es unendlich viele Lösungen gibt, wenn es eine Nullzeile gibt.
Es gibt keine Lösung, wenn sich in einer Zeile ein Widerspruch ergibt also z.B 5=0.
Es gibt eine Lösung, wenn es ein eindeutiges t gibt, für dass das LGS lösbar ist.

Wenn also $\begin{eqnarray*} -t^2-6t+18=0 \end{eqnarray*}$ ist, müsste das LGS unendlich viele Lösungen haben. Das habe ich mit der Mitternachtsformel berechnet und bin auf

$\begin{eqnarray*} t_1=\frac{-6+\sqrt{108}}{2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} t_2=\frac{-6-\sqrt{108}}{2} \end{eqnarray*}$

gekommen.

Für diese beiden Werte, hab das LGS also unendlich viele Lösungen. Reicht dies als Begründung, oder muss ich die anderen Zeilen auch noch irgendwie mit einbeziehen?

Ich hätte nun gesagt, dass für alle anderen Werte, das LGS keine Lösung hat. Aber wie komme ich dann auf die eindeutige Lösung?

Vielen Dank für eure Antworten schon mal im Voraus.
Sonnenschein1

13.08.2009, 19:28

outSchool

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RE: Gleichungssystem mit Parameter auflösen

Zitat:

Original von Sonnenschein1
. . .
Es ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2t \\ 0 & -t & -t^2+2t \\ 0 & t & -8t+16 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} t \\ 2t \\ -2t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2t \\ 0 & -t & -t^2+2t \\ 0 & 0 & -t^2-6t+18 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} t \\ 2t \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so, was ich bis jetzt gerechnet habe?

Nein, die 18 stimmt nicht.

Zitat:

Original von Sonnenschein1
. . .
Jetzt bin ich mir aber nicht ganz sicher, wie ich weitermachen muss.
. . .

Setze die neu berechneten Werte für $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_2 \end{eqnarray*}$ in das Ausgangsgleichungssystem ein.

13.08.2009, 20:22

Sonnenschein1

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oh mist... ja du hast recht, das habe ich falsch übertragen.
Als neue Werte erhalte ich

$\begin{eqnarray*} t_1=-8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_2=2 \end{eqnarray*}$

mit
$\begin{eqnarray*} t_1=-8 \end{eqnarray*}$
folgt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -16 & 0 \\ 0 & -80 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -8 \\ -16 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -5 & 0 & 8 \\ 0 & -10 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 40 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L= {\begin{pmatrix} \frac{8z-40}{5} \\ \frac{z+2}{10} \\ z \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$

mit
$\begin{eqnarray*} t_2=2 \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} L= {\begin{pmatrix} z \\ -2\\ \frac{2-z}{4} \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$

Insgesamt habe ich jetzt

- unendlich viele Lösungen für t=2 und t=-8 ( da ich ja jeweils Parameter in den Lösungsmengen habe)
- keine Lösung für alle anderen Werte

allerdings habe ich keine Werte, für die das LGS eine eindeutige Lösung hat. Wie kann ich denn dann den Lösungsvektor für den Fall der eindeutigen Lösbarkeit berechnen, was in der Aufgabe gefragt war?

13.08.2009, 20:31

outSchool

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Das LGS

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2t \\ 0 & -t & -t^2+2t \\ 0 & 0 & -t^2-6t+16 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} t \\ 2t \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wird jetzt für $\begin{eqnarray*} t \notin \{-8;2\} \end{eqnarray*}$ gelöst. Der nächste Schritt kürzen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2t \\ 0 & -t & -t^2+2t \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} t \\ 2t \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In der 2. Zeile kannst du auch nochmal durch t kürzen, d.h.,

$\begin{eqnarray*} t \notin \{-8;0;2\} \end{eqnarray*}$

Für t=0 musst du auch nochmal prüfen, welche Lösungsmenge das LGS hat.

13.08.2009, 21:02

outSchool

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Du hast irgendwann mal die Spalten vertauscht.

Zitat:

Original von Sonnenschein1
. . .
mit
$\begin{eqnarray*} t_1=-8 \end{eqnarray*}$
folgt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -16 & 0 \\ 0 & -80 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -8 \\ -16 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Vertausche jetzt wieder die Spalten, das wird dann einfacher

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -16 \\ 0 & 8 & -80 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -8 \\ -16 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -16 \\ 0 & 1 & -10 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -8 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Sonnenschein1
. . .
mit
$\begin{eqnarray*} t_2=2 \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier auch erst vertauschen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

15.08.2009, 19:31

Sonnenschein1

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Also für $\begin{eqnarray*} t\in {-8,2} \end{eqnarray*}$ hat das LGS unendlich viele Lösungen, da ich eine Nullzeile habe.

Was meinst du denn jetzt genau mit kürzen? Meinst du, dass ich die letzte Zeile durch $\begin{eqnarray*} -t^2-6t+18 \end{eqnarray*}$ teile? Denn dann erhalte ich dein Ergebnis.

Als nächstes teile ich die zweite Zeile durch t. Dazu muss t ungleich 0 sein. Deshalb untersuche ich zuerst den Fall t=0.
Ich erhalte dann für t=0 (ich habe die Spalten überall wieder zurückgetauscht)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und somit als Lösungsvektor $\begin{eqnarray*} L= {\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ z \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$ für t=0

Ich erhalte wieder unendlich viele Lösungen, da ich ja eine Nullzeile (hier die zweite) habe. Also habe ich als dritten Eintrag im Vektor einmal z gewählt. Da ich für $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ ja keine Vorgabe habe und es somit frei wählen kann.

Nun weiter für $\begin{eqnarray*} t \notin \{-8;0;2\} \end{eqnarray*}$

Ich erhalte nachdem ich die zweite Zeile durch t geteilt habe:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2t & 0 \\ 0 & 2-t & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} t \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dies forme ich um zu

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} t \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und erhalte als Lösungsvektor

$\begin{eqnarray*} L= {\begin{pmatrix} t \\ 0\\ 2 \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} t \notin \{-8;0;2\} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

Jetzt habe ich ja unendlich viele Lösungen für jeden Fall, da immer ein Parameter vorkommt. In der Aufgabe stand aber "Berechne den Lösungsvektor für den Fall der eindeutigen Lösbarkeit" Ich sehe hier aber keine eindeutige Lösbarkeit? Habe ich was falsch gemacht?

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