Raum analytischer Funktionen auf Vollständigkeit überprüfen

13.08.2009, 18:45	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Raum analytischer Funktionen auf Vollständigkeit überprüfen Hallo alle miteinander! Seit Tagen grüble ich an einer Aufgabe, allerdings bisher mit bescheidenem Erfolg. Sei $\begin{eqnarray} D\subset\mathbb{C} \end{eqnarray}$ ein Gebiet. Es sei $\begin{eqnarray} A^2(D) := \{ f: D\to\mathbb{C} \| f\;\text{analytisch und}\quad \int_D \|f\|^2 d\mu < \infty \} \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ das gewöhnliche Lebesgue-Maß. Dies ist ein Vektorraum, wie leicht zu sehen ist. Mit $\begin{eqnarray} (f,g) := \int_D f\cdot\bar{g} d\mu \end{eqnarray}$ wird auf diesem Raum ein Skalarprodukt definiert, sodass also $\begin{eqnarray} A^2(D) \end{eqnarray}$ zu einem Prä-Hilbertraum wird. Die Frage ist nun, ob es auch ein Hilbertraum ist. Ich habe mitlerweile durch Recherchen im Internet mehrmals gelesen, dass es so ist. Ich möchte es aber beweisen! Mein Ansatz bisher ist folgender: Sei $\begin{eqnarray} (f_n)_n \end{eqnarray}$ eine Cauchy-Folge in $\begin{eqnarray} A^2(D) \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} L^2(D) \end{eqnarray}$ bekanntermaßen ein umgebender Hilbertraum von $\begin{eqnarray} A^2(D) \end{eqnarray}$ ist, existiert schonmal eine messbare, quadratintegrierbare Grenzfunktion. (Die aber nur bis auf eine Nullmenge eindeutig bestimmt ist) Nach dem Satz von Riesz-Fischer existiert eine Teilfolge $\begin{eqnarray} (f_{n_k})_k \end{eqnarray}$ , die $\begin{eqnarray} \mu- \end{eqnarray}$ fast überall gegen solch eine Grenzfunktion punktweise konvergiert. Sei ohne Einschränkung die Teilfolge die ganze Folge selbst. Ich möchte nun zeigen, dass diese Folge dann auch lokal gleichmäßig beschränkt ist. Das heißt, für jedes $\begin{eqnarray} z_0\in D \end{eqnarray}$ existiert eine kompakte Umgebung K, sodass $\begin{eqnarray} \sup_{n\in\mathbb{N}, z\in K} \|f_n(z)\| < \infty \end{eqnarray}$ Nach dem Satz von Montel würde dann folgen, dass eine Teilfolge kompakt konvergiert, d.h. es existiert eine analytische Grenzfunktion, die dann schon auch die Grenzfunktion unter der 2-Integralnorm ist. Zunächst einmal: Stimmen meine Überlegungen bis hierhin? Und führt das überhaupt zu etwas? Übersehe ich irgendeinen anderen nützlichen Satz aus der Funktionentheorie, der das Problem erschlägt? Außerdem: Ich weiß nicht, wie weiter. Jedes mal wenn ich irgendetwas formal dazu aufschreibe, führt keine Abschätzung zu irgendetwas. Weiß vielleicht jemand, wie man die Vollständigkeit dieses Raumes beweist? Ich wäre sehr sehr dankbar...und freue mich auf jeden Vorschlag! Danke im Voraus P.S.: Da ich zur Zeit sehr schlechtes Internet habe, könnte es gut sein, dass ich auf Rückmeldungen erst sehr spät antworte. Seht es mir bitte nach
18.08.2009, 12:08	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich tue es ja an sich ungern, aber ich uppe das Thema mal. Das Problem besteht noch immer, weitergekommen bin ich immer noch kein Stück...
18.08.2009, 12:40	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Frag mal auf dem Matheplaneten nach. Da wirst du eher mit einer Antwort rechnen können.

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