gleichmäßig beschränkt

13.08.2009, 18:54

8391nn32

gleichmäßig beschränkt

Hallo,
kann mir jemand den Unterschied zwischen punktweißer Beschränktheit und gleichmäßiger Beschränktheit von Funktionfamilien geben.

Alle Räume die ich betrachte sind normiert.

X und Y
f sein ein Elemnt der Funktionenfamilie F, deren Elemente von X-->Y abbilden.

$\begin{eqnarray*} \sup_{f \in F}||f(x)||_Y < \infty \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$
wäre die punktweise Beschränktheit

gibt es ein $\begin{eqnarray*} x_0 \in X \end{eqnarray*}$ und U eine Umgebung in X um $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$
dann defeniere ich gleichmäßige Beschränktheit:

$\begin{eqnarray*} \sup_{x \in U}\sup_{f \in F}||f(x)||_Y < \infty \end{eqnarray*}$

1.) Wo liegt der Unterschied dieser beiden Definitionen
2.) Kann jemand den Unterschied Geometrisch oder Anschaulich erklären?
3.) Wozu braucht amn gleichmäßige Beschränktheit

Ich bedanke mich schnmal im Voraus für eure Hilfe

15.08.2009, 11:59

8391nn32

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Sry
vieleicht ist nicht ganz klar was ich meine?

Wenn ihr mir auch nur den Unterschied der beiden Definitionen erklären könntet, würde das mri schon sehr weiterhelfen.

15.08.2009, 14:02

ge88

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wiki

Zitat:

Sei X eine beliebige Menge. Dann heißt eine Familie $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ von auf X definierten, reellwertigen Funktionen gleichmäßig beschränkt, wenn es eine reelle Zahl S gibt, für die gilt: $\begin{eqnarray*} \forall x\in X\forall f\in \mathcal{F}: |f(x)|\leq S \end{eqnarray*}$ . Das heißt, S ist eine gemeinsame obere Schranke für die Werte der Beträge aller Funktionen aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Eine Familie von Funktionen $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ auf einer Menge X deren Wertevorrat ein normierter Raum ist, heißt punktweise beschränkt, wenn für jeden Punkt $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ die Menge $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}\Big|_x:=\{f(x)|f \in \mathcal{F}\} \end{eqnarray*}$ beschränkt ist. $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}\Big|_x \end{eqnarray*}$ ist also die Menge aller Werte, die an der Stelle x von irgendeiner Funktion der Familie angenommen werden.

Bei der gleichmaessigen Beschraenktheit ist die Schranke von x unabhaengig.

15.08.2009, 15:08

8391nn32

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1.) Wie zeigt sich das in der Definition die ich hingeschrieben habe?

2.) Ist dann nicht jede punktweise beschränkte Familie auch gleichmäßig beschränkt, wenn ich in der Wiki Definition einfach die größte Konstante als S wähle die die menge $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}\Big|_x:=\{f(x)|f \in \mathcal{F}\} \end{eqnarray*}$ beschränkt.

So sehe ich dann keinen Unterschied zwischen gleichmäßiger und punktweiser Beschränktheit.

3.) Haben gleichmäßig beschränkte Familien besondere Eigenschaften?
Also was folgt aus der gleichmäßigen Beschränktheit?

15.08.2009, 15:50

ge88

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Zitat:

Original von 8391nn32
1.) Wie zeigt sich das in der Definition die ich hingeschrieben habe?

Die Definition kenne ich nicht.

Zitat:

2.) Ist dann nicht jede punktweise beschränkte Familie auch gleichmäßig beschränkt, wenn ich in der Wiki Definition einfach die größte Konstante als S wähle die die menge $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}\Big|_x:=\{f(x)|f \in \mathcal{F}\} \end{eqnarray*}$ beschränkt.

Nein, denn S ist in dem Fall von x abhaengig, also S = S(x).
Bei wiki steht noch: "Eine punktweise beschränkte Familie kann unbeschränkte Funktionen enthalten." und "Jede gleichmäßig beschränkte Familie besteht aus beschränkten Funktionen".

Zitat:

3.) Haben gleichmäßig beschränkte Familien besondere Eigenschaften?

Sicher.

Zitat:

Also was folgt aus der gleichmäßigen Beschränktheit?

Die punktweise Beschraenktheit.

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