Modellierung einer NB im linearen Optimierungsproblem

13.08.2009, 20:16	m0ndt4ucher	Auf diesen Beitrag antworten »
Modellierung einer NB im linearen Optimierungsproblem Hallo zusammen, innerhalb eines linearen Optimierungsproblems möchte ich eine Nebenbedingung umschreiben, tue mich aber gerade schwer damit. Es geht dabei um Folgendes: Die Ausgangsnebenbedingung hat folgende Gestalt $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \sum_{n=1}^{N} PK_{j, n} \cdot x_{n, t} \le b_{j, t} \qquad \forall j{,} t<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Zur Interpretation: $\begin{eqnarray} x_{n, t}\qquad \end{eqnarray}$ ist die Produktionsmenge des Produktes n in Periode t (sie eine Variable des Problems). Für die Produktion eines Produktes n benötige ich $\begin{eqnarray} PK_{j, n} \qquad \end{eqnarray}$ Kapazitätseinheiten einer Maschine j. Die Kapazitätsnachfrage in jeder Periode t darf das jeweilige Kapazitätsangebot $\begin{eqnarray} b_{j, t} \end{eqnarray}$ nicht übersteigen. Meine Überlegungen waren nun, dass sich mit jeder produzierten Menge $\begin{eqnarray} x_{n, t} \qquad \end{eqnarray}$ in der Periode t für die Produktion in der darauf folgenden Perioden [t+1, t+2 , ... T] Lerngewinne einstellen, die die benötigte Kapazitätseinheiten sinken lässt. Dafür führe ich produkt- und periodenspezifische Kapazitätsgewinnfaktoren $\begin{eqnarray} UG_{n, t^, t} \end{eqnarray}$ ein. Bspw. bedeutet $\begin{eqnarray} UG_{1, 2, 3}=-2 \end{eqnarray}$ , dass ich für jede in der Periode t=2 produzierte Mengeneinheit des Produktes n=1 nun in Periode t=3 zwei Kapazitätseinheiten weniger brauche. Die produzierten Mengeneinheiten der Vorperioden müssen folglich ebenfalls in der Nebenbedingung berücksichtigt werden, um die gesamte Kapaztitätsbedarfsverminderung in der Periode t zu ermitteln. Und genau da liegt mein Modellierungsproblem. Ich weiß nicht so richtig, wie ich das anstelle. Mein Versuch war der hier: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \sum_{n=1}^{N} PK_{j, t}\cdot x_{n, t} - \sum_{n=1}^{N} UG_{n, t^, t} \cdot x_{n, t^} \le b_{j, t} \qquad \forall j{,} t<br /> <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Irgendwie bereit mir diese Darstellung Kopfschmerzen im Bezug auf $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{N} UG_{n, t^, t} \cdot x_{n, t^} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} x_{n, t^} \end{eqnarray}$ ist ja an sich keine Variable mehr, wegen t. Wie kann ich denn den Ansatz beibringen, dass er immer die vergangenen Produktionsmengen für die Ermittlung der Kapazitätsminderung nimmt. Wenn ich stattdessen $\begin{eqnarray} x_{n, t} \end{eqnarray}$ einsetzte, dann passt das ja auch nicht mehr wegen $\begin{eqnarray} \forall t \end{eqnarray}$ , dann nimmt er ja nicht mehr die Ausbringungsmengen der Vorperioden. Da ich den Sachverhalt mit Beispieldaten in den Anfangtableaus eintragen kann, muss es also auch eine Möglichkeit geben, das in einer allgemeinen mathematisch Formel zu modellieren. Ich bin kein Mathematiker und würde daher gern von euch wissen, ob die letzte Formel das aussagt, was ich eben beschrieben habe. Falls nicht würde ich mich über euren fachmännischen Rat sehr freuen. LG Friedrich P.S.: das erste mal mit Latex geschrieben
14.08.2009, 10:18	m0ndt4ucher	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich habe mit der Hilfe eines guten Freundes ( ) nun diese Nebenbedingung aufstellen können: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \sum_{n=1}^{N} PK_{j, n}\cdot x_{n, t} - \sum_{n=1}^{N}\sum_{i=1}^{t-1} UG_{n, t-i} \cdot x_{n, t-i} \le b_{j, t} \qquad \forall j{,} t<br /> <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Ist das jetzt näher dran? Vllt. mal ein paar Beispieldaten: $\begin{eqnarray} PK_{j=1, n=1}=10 \qquad , PK_{j=1, n=2}=20 \qquad \quad , b_{j=1, t}=100 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} UG_{n=1, i=1}=1 \qquad , UG_{n=1, i=2}=0,5 \qquad \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} UG_{n=2, i=1}=2 \qquad , UG_{n=2, i=2}=0,9 \qquad \end{eqnarray}$ Das Ungleichungssystem sollte dann folgendermaßen aussehen: $\begin{eqnarray} t=1: \qquad 10 \cdot x_{n=1, t=1} + 20 \cdot x_{n=2, t=1} \le 100 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t=2: \qquad 10 \cdot x_{n=1, t=2} + 20 \cdot x_{n=2, t=2} - 1\cdot x_{n=1, t=1} - 2\cdot x_{n=2, t=1} \le 100 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t=3: \qquad 10 \cdot x_{n=1, t=3} + 20 \cdot x_{n=2, t=3} - 1\cdot x_{n=1, t=1} - 2\cdot x_{n=2, t=1} - 0,5\cdot x_{n=1, t=2} - 0,9\cdot x_{n=2, t=2} \le 100 \end{eqnarray}$ Passt das soweit? Gruß Friedrich P.S.: Hab gesehen, dass ich im ersten Post bei der zweiten Formel ein Indize falsch gesetzt habe. Da muss $\begin{eqnarray} PK_{j, n} \end{eqnarray}$ stehen und nicht $\begin{eqnarray} PK_{j, t} \end{eqnarray}$

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