Folgen / Monotonie und Beschränktheit

15.08.2009, 18:08

Eva-S

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Folgen / Monotonie und Beschränktheit

Hallo zusammen,

bei der folgenden Aufgabe habe ich Probleme:

Untersuchen ist auf Monotonie und Beschränktheit
$\begin{eqnarray*} d_n:= \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

Stände der Bruch "anderherum" könnte ich die Aufgabe glaube ich lösen,
aber hier komme ich nicht dahinter.

15.08.2009, 18:19

Rare676

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$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.08.2009, 18:22

Eva-S

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Verstehe ich nicht ganz!

15.08.2009, 18:26

Mazze

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Du hast lediglich 3 min nach Rare676's Antwortet gepostet. Denke weitere 5 Minuten drüber nach. Das ist alles was Du brauchst. Du musst nur noch einen Schritt tun und bist fertig.

16.08.2009, 13:44

Eva-S

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$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}= \frac{n+1}{n+1} - \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Bin ich so auf dem richtigen Weg?

16.08.2009, 13:46

Mazze

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Absolut, ja.

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16.08.2009, 13:52

Eva-S

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$\begin{eqnarray*} a_1 = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2 = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_3= \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

usw. usw.

Also ist die Folge beschränkt und es gilt u.a.
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \leq a_n \leq 1 \end{eqnarray*}$

Nun fehlt mir nur noch der Nachweis der Monotonie...

16.08.2009, 13:54

Mazze

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Die Folge ist durch 1 Beschränkt, aber gezeigt hast Du es noch nicht. Was die Montonie angeht, zeige das

$\begin{eqnarray*} a_{n + 1} - a_n > 0 \end{eqnarray*}$

gilt.

edit:

Beschränktheit zu zeigen, ist hier vielleicht auch etwas großspurig. Es ist wohl klar das

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{n + 1} < 1 \end{eqnarray*}$

ist. Mit der Monotonie folgt dann auch die Beschränktheit von unten.

16.08.2009, 14:03

Eva-S

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Dies hat ein Freund in seiner Lösung stehen gehabt, um die obere Schranke zu zeigen.
Da wäre ich selbst nicht drauf gekommen. Und so habe ich ja auch noch nicht die untere Schranke bewiesen oder reicht es wenn man eine einzige Schranke zeigt?

$\begin{eqnarray*} 0 < \frac{n}{n+1} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n < n+1 \Leftrightarrow \frac{n}{n+1} < 1 \end{eqnarray*}$

16.08.2009, 14:06

Mazze

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Das ist in Ordnung was da steht. Fakt ist aber auch, das die Folge streng monoton wachsend ist. Und allein aus dieser Tatsache folgt sofort dass es eine untere Schranke gibt. Du musst die Monotonie natürlich noch zeigen.

16.08.2009, 14:15

Eva-S

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$\begin{eqnarray*} d_{n+1} - d_n = \frac{n+1}{(n+1)+1} - \frac{n}{n+1} = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0 \end{eqnarray*}$

Im letzten Schritt wurde gleichnamig gemacht und mit
$\begin{eqnarray*} \frac {n+1}{n+1} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \frac {n+2}{n+2} \end{eqnarray*}$
erweitert.

16.08.2009, 14:19

Eva-S

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Zitat:

Original von Mazze
Fakt ist aber auch, das die Folge streng monoton wachsend ist. Und allein aus dieser Tatsache folgt sofort dass es eine untere Schranke gibt.

Also die Monotonie hätte ich damit gezeigt, oder? (siehe oben)
Aber wie ich nun die untere Schranke zeigen könnte habe ich noch nicht ganz verstanden.

Oder reicht es zu sagen, dass aus der Monotonie folgt, das es automatisch eine untere Schranke geben muss!?

Alleine wäre ich übrigens nie auf diese Lösungsansätze gekommen.
Ich muss noch viel lernen bis zum Nachtermin meiner Klausur.
geschockt

geschockt

16.08.2009, 14:29

earthie

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Weil die Folge streng monoton wächst gilt offensichtlich:

a_0 < a_1 < a_2 < ... < a_n

wie findest du hier eine untere Schranke?
Findest du auch das Infimum von { $\begin{eqnarray*} a_n|n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ }, also die grösste untere Schranke?

16.08.2009, 14:34

Eva-S

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aus "dem Bauch heraus" würde ich sagen, ich setze n=1 und da bekomme ich ja 1/2 heraus. Da die Folge str. monot. wachsend ist, habe ich so die größte unt. Schranke, oder?

Ich weiß allerdings nicht wie ich das mathematisch korrekt aufschreiben muss.

16.08.2009, 14:37

earthie

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aus strenger Monotonie folgt für alle n:
a_n > a_1 = 1/2

daraus folg
1/2 ist eine untere Schranke

16.08.2009, 14:39

Eva-S

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danke sehr...

jetzt muss mich mir das nur noch alles zusammenfassen und merken.

16.08.2009, 14:41

earthie

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wenn kein Formelumformen mehr hilft, setze einfach mal Zahlen ein, dann siehst du meistens, wohin die Folge strebt Augenzwinkern

Augenzwinkern

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