schwache und starke Konvergenz

15.08.2009, 18:24

nagato

schwache und starke Konvergenz

Hallo zusammen,
Wiki schwache Konvergenz:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} Die Folge (x_n)_{n \in \mathbb{N}} konvergiert genau dann schwach gegen x \in E, wenn \lim_{n \rightarrow \infty} \varphi(x_n) = \varphi(x) in \mathbb{R} bzw. \mathbb{C} für alle stetigen linearen Funktionale \varphi \in E^\prime gilt (E^\prime ist der topologische Dualraum zu E). \end{eqnarray*}$

Für mich ist dies eine viel stärker Forderung als bei starker Konvergenz, weil es ja für alle Funktionale gelten muss wärend bei "starker" Konvergenz ja nur für eone Norm gelten muss.

Kann mich da jemand aufklären.
Danke

15.08.2009, 18:40

Mazze

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Schwache und Starke Konvergenz kommt davon.

Jede stark konvergente Folge konvergiert schwach.
Es gibt schwach konvergente Folgen die nicht stark konvergieren. Das heisst, die starke Eigenschaft folgert die schwache. Die schwache Eigenschaft folgert aber nie die Starke. Anderes Beispiel. Jede differenzierbare Funktion ist stetig. Nicht jede stetige Funktion ist differenzierbar. Offensichtlich ist Differenzierbar also die stärkere Eigenschaft.

Betrachte zum Beispiel den Folgenraum $\begin{eqnarray*} l^p(\mathbb{N}),1 < p < \infty \end{eqnarray*}$

dann konvergiert die Folge

$\begin{eqnarray*} a_n = e_n \end{eqnarray*}$

schwach. Das heisst für alle Funktionale in $\begin{eqnarray*} x' \in (l^p(\mathbb{N}))' \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} x'(a_n) \to 0 \end{eqnarray*}$

Offensichtlich ist aber $\begin{eqnarray*} \|a_n\|_p = 1 ~ \forall n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , das heisst die Folge konvergiert nicht stark. Sei andererseits $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine Konvergente Folge mit Grenzwert a in irgendeinem normierten Banachraum X, und sei $\begin{eqnarray*} x' \in X' \end{eqnarray*}$ . Wegen der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} x' \end{eqnarray*}$ folgt sofort

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}x'(a_n) = x'(a) \end{eqnarray*}$

Damit konvergiert die Folge a_n auch schwach.

15.08.2009, 18:40

nagato

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sry
hier ist die definition

Die Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ konvergiert genau dann schwach gegen $\begin{eqnarray*} x \in E \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty} \varphi(x_n) = \varphi(x) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ für alle stetigen linearen Funktionale $\begin{eqnarray*} \varphi \in E^\prime \end{eqnarray*}$ gilt ( $\begin{eqnarray*} E^\prime \end{eqnarray*}$ ist der topologische Dualraum zu E).

15.08.2009, 18:45

nagato

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danke
mich hat nur verwirrt das es für alle funktionale gelten muss
ich hab auch irgenwo gelesen, dass die schwache Konvergenz die Verallgemeinerung der Konvergenz der Koordinaten eines Vektors sind

ist es dann so das die linearen stetigen Funktionale gerade alle Koordinatenabbildungen sind?

wenn ja wie sehe ich das?

15.08.2009, 18:55

Mazze

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Zitat:

ist es dann so das die linearen stetigen Funktionale gerade alle Koordinatenabbildungen sind?

Die Funktionale bilden immer in den Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ ab. Die Koordinatenabbildung bildet in den $\begin{eqnarray*} \mathbb{K}^n \end{eqnarray*}$ ab. Die einzige Möglichkeit die ich sehe, das ein Funktional gleichzeitig eine Koordinatenabbildung ist, ist der Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

15.08.2009, 18:58

nagato

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ICh meinte jetzt sowas wie $\begin{eqnarray*} x^*_i \end{eqnarray*}$ bildet die den Vektor $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$
auf die i-te Koordinate ab und die ist ja in K

15.08.2009, 19:01

Mazze

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Erstens gibt es wesentlich mehr Vektorräume als nur die Koordinatenvektorräume $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ und zweitens ist zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{K} ~ v \mapsto \sum_{i=1}^n v_i \end{eqnarray*}$

ein stetiges, lineares Funktional.

15.08.2009, 19:03

nagato

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ok
vielen dank für deine Hilfe

15.08.2009, 19:05

Mazze

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Noch als Hinweis, mit Koordinatenabbildung meint man eigentlich das hier.

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