Bild + Kern meiner Matrix (schon Vorgearbeitet!)

Neue Frage »

rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »
Bild + Kern meiner Matrix (schon Vorgearbeitet!)
Hi, ich habe ein PDF gefunden mit folgendem Text. Ich verstehe es aber nicht ganz:
http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler...er%20Matrix.pdf

Zitat:
Das Bild einer Matrix einer linearen Abbildung ist gleich den linear unabhängigen Spalten.
Wie gelangt man aber an diese?
Da gibt es zwei Möglichkeiten:
Wenn man die linear unabhängigen Spalten einer Matrix bestimmen willst, führt man
einfach elementare Spaltenumformungen (Addition von vielfachen einer Spalte zu einer
andern; vertauschen von Spalten...) durch.
Wem die elementaren Zeilenumformungen mehr liegen, der kann auch wie folgt vorgehen:
Man transponiert die Matrix, wendet Gauß an und das, was nicht zur Nullzeile wird, sind die
Bilder der Matrix.



nach Umformungen bekomme ich raus:


und wenn ich jetzt ne variable a=1 für z einsetze: bekomem ich als Kern
Aber nach der Beschreibugn gilt: "was nicht zur Nullzeile wird, sind die Bilder der Matrix."
Also mein Bild nach deiser Definiton:
Ich hatte nch ne Definition zur "linearen Abhängigkeit: Die Vektoren ( in meinem Fall Spalten der MAtrix) sind linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur trivial darstellen lässt
also x=y=z=0 ...aber ich habe eine Lösung raus (Kern) und damit sind die Spalten doch linear Abhängig, oder? Ich mein wegen der Definition, die ich imemr wieder lese, dass die linear unabhängigen Spalten auch das Bild der Matrix sind.

Kann mir mal jemand helfen? Bilicks grad garnicht!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild + Kern meiner Matrix (schon Vorgearbeitet!)
Zitat:
Original von rappozappo
Kann mir mal jemand helfen? Bilicks grad garnicht!

Irgendwie vermengst du jetzt was. Entweder willst du den Kern oder eine Basis des Bildes bestimmen. Das sind separate Aufgaben, zu denen man auch separate Rechnungen braucht.

*** verschoben in die Hochschulmathe ***
earthie Auf diesen Beitrag antworten »

V,W Vektorräume über R mit dim V=dim W=3, b,c: Basen von V bzw. W

Kern bestimmen
Wenn A die Koordinatenmatrix eines Homomorphismus f: V->W ist, dann zeigen dir die Spalten von A die Bilder der Basisvektoren b_i.

Sind die Spalten linear unabhängig, bilden sie eine Basis von W. Sind sie aber linear abhängig hat die Matrix einen Defekt (Rangverlust) und die Abbildung f somit einen Kern.

Hast du A durch elementare Zeilenumformungen in Treppenform gebracht, siehst du sofort an der Anzahl der "Null-Zeilen" wie gross der Defekt d ist, und du findest auch linear unabhängige Vektoren x_i ungleich Null, so dass A*x_i=0.

(die linear unabhängigen x_i bilden dann eine Basis des Kerns K mit dim K=d.)

Bilder der Matrix
Durch elementare Spaltenumformungen findest du weitere Vektoren des Bildraums f(V), denn eigentlich addierst/vertauschst du nur die Bilder der Basisvektoren (welche in W liegen) zu neuen Vektoren aus f(V) (das gilt, weil f eine lineare Abbildung ist). Sind diese wiederum linear abhängig bilden sie eine Basis des Bildraums.



deine Fragen
Jetzt zum praktischen:
1. die Umformung und der Kern sind korrekt
2. Wenn du die Bilder bestimmen willst, musst du entweder Spaltenumformungen durchführen, oder transformieren und Zeilenumformungen durchführen (und für die Interpretation einfachheitshalber wieder zurücktransformieren)
du hast aber Zeilenumformungen gemacht ohne Transposition, das hilft dir bei der Bestimmung von Bildern der Abbildung nicht weiter.
3. Es gilt stets: Zeilenrang=Spaltenrang, also wirst du auch nur 2 linear unabhängige Spaltenvektoren finden.


Hoffentlich konnt ich dir weiterhelfen.
earthie Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn du die Bilder bestimmen willst, musst du entweder Spaltenumformungen durchführen, oder transformieren und Zeilenumformungen durchführen (und für die Interpretation einfachheitshalber wieder zurücktransformieren)

ich meinte transponieren, nicht transformieren Augenzwinkern
rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von earthie
Kern bestimmen
Wenn A die Koordinatenmatrix eines go f: V->W ist, dann zeigen dir die Spalten von A die Bilder der Basisvektoren b_i.

Also wenn die Spalten die gleiche Form (daher jede MAtrix durch eine andere dargestellt werden kann??? ... Sorry aber bei so ner Definition könnte ich gleich in Wikipedia gucken verwirrt

Zitat:
Original von earthie
Hast du A durch elementare Zeilenumformungen in Treppenform gebracht, siehst du sofort an der Anzahl der "Null-Zeilen" wie gross der Defekt d ist, und du findest auch linear unabhängige Vektoren x_i ungleich Null, so dass A*x_i=0.


Das heißt praktisch: weil die letzte Spalte lin. unabhängig ist, hat die Matrix die Dimension (Rang) 2, ...weil 3 Zeilen - 1lin. unabhängige =2 lin. abh. Zeilen.

Zitat:
Original von earthie
Bilder der Matrix
Durch elementare Spaltenumformungen findest du weitere Vektoren des Bildraums f(V), denn eigentlich addierst/vertauschst du nur die Bilder der Basisvektoren (welche in W liegen) zu neuen Vektoren aus f(V) (das gilt, weil f eine lineare Abbildung ist). Sind diese wiederum linear abhängig bilden sie eine Basis des Bildraums.

also muss ich meine Matrix auf die Form: bringen. Dann sind die Spalten, die nciht (000) sind, linear unabhängig und somit das Bild? Müsste ja jetzt nur nochmeine Gauß-Form nehmen:

Zitat:
Original von earthie
2. Wenn du die Bilder bestimmen willst, musst du entweder Spaltenumformungen durchführen, oder transformieren und Zeilenumformungen durchführen (und für die Interpretation einfachheitshalber wieder zurücktransformieren)
du hast aber Zeilenumformungen gemacht ohne Transposition, das hilft dir bei der Bestimmung von Bildern der Abbildung nicht weiter.

Was heißt denn jetzt noch transponieren? wie mache ich das? Kann das mal jemand machen für mich? Also ich lern sehr gut an Beispielen^^. Erklärungen sind immer so kompliziert und da mus ich immer sau viel interpretieren. Sitz schon ne halbe stunde an der Erklärung. Trotzdem Danke!


Ob du mir jetzt geholfen hast, musst du mir schon jetzt selbst sagen. Ich weiß es ehrlich gesagt nciht, ob ich da was verstanden hab, oder ob es wieder alles falsch war, was ich dazu kommentiert habe Big Laugh
earthie Auf diesen Beitrag antworten »

ok, dann frage ich mal zurück:

Kennst du diese Begriffe und kannst du mit ihnen "arbeiten":

Basis
Vektorraum
Homomorphismus
Dimension
Defekt
linear (un-)abhängig

diese Begriffe müssen dir klar sein, bevor du die Berechnung von Kern und Bild verstehen kannst. Sonst verkommt die Übung zu einem Addieren und Multiplizieren von Zahlen nach wirren Regeln.

die Transponierte von
ist
funktioniert nicht nur mit quadratischen Matrizen (d.h eine 4x3-Matrix transponiert ist nachher von der Form 3x4)
 
 
rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von earthie
ok, dann frage ich mal zurück:

Kennst du diese Begriffe und kannst du mit ihnen "arbeiten":

Basis
Vektorraum
Homomorphismus
Dimension
Defekt
linear (un-)abhängig
diese Begriffe müssen dir klar sein, bevor du die Berechnung von Kern und Bild verstehen kannst.


Ich versuchs in meinen Worten. Dann sieht man immer am Besten, ob ichs verstanden habe, oder nicht.

Basis: Wenn am Ende nur noch linear unabhängige Zeilen/Spalten rauskommen, ist das die Basis des Raumes (Es gibt also keine Doppelten Zeilen/Spalten). Wobei ich nicht verstanden habe, was das eigentlich so wirklichsein darstellen soll. Ich vermute: wo man einen Punkt mit der Basi Multipliziert und dann dieser gedreht,gesteckt oder gespiegelt wird (eben eine Matrix ohne doppelte Anweisungen/doppelte Zeilen/Sp ?)

Vektorraum z.B der 3-Dimensionale Raum mit x-y-z-Achse.

Homomorphismus =gleiche Form ... aber von was?

Dimension vom Vektorraum: Anzahl der Koordinatenachsen. Dimension Bild/Kern ... ich denke dasselbe ...aber nicht sicher?

Defekt Ich dachte, das sei nru dein Wort: Anzahl der 0-Zeilen/Spalten, die GLEICH sein müssen? Aber was der Defekt sagt, weiß ich nicht. Wie viele doppelte Vektoren (Operationen) es in der Matrix gibt???

Linear Abhängig Der Zeilen/Spalten-Vektor ist noch durch einen anderen Vektor darstellbar, also doppelt gemoppelt. -> 0-Zeile.

Zitat:
Original von earthie
Sonst verkommt die Übung zu einem Addieren und Multiplizieren von Zahlen nach wirren Regeln


Also ich komme immer durcheinander wenn ich Lese, dass ich erst mal die Zeilen umformen muss und dann seh ich wieder was an den Spalten.
Aber die transponierte erklärt mir jetzt schon einiges. Sonst schreiben ja viele nur: Gauß elimination der Spalten/Zeilen . Bin bis jetzt leider nciht selber drauf gekommen.

__________________________________________
Also ich msus jetzt praktisch, um den Kern zu bekommen die Zeilen umformen, bis ich eine 0-Zeile bekomme. Für die freigewordene Variable also eine Zahl einsetzen (z=1) und damit dann die anderen Zeile n ausrechnen.

Bild ... das gleiche, wie für den Kern, nur mit den Spalten mittels transponation ^^ oder wie auch immer.
earthie Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, ich weiss nicht an welche Schule du gehst bzw in welchem Semester du studierst, aber ich rate dir auf jeden Fall die Grundbegriffe aus Lineare Algebra I zu repetieren.
Und zwar so, dass du nicht nur alles ausrechnen, sondern allem auch einen Sinn geben kannst.
Deine Definitionen sind mehr als schwammig und reichen höchstens dazu eine Aufgabe anhand von bestehenden Beispielen zu lösen und das geht in der höheren Mathematik meistens schief.

Zum Thema des Threads kann ich nur sagen:
zu Beginn hast du den Kern und nachher den Bildraum korrekt berechnet, von daher habe ich dir zu diesen Fragen wohl helfen können, für den restlichen Stoff solltest du aber wirklich noch einmal über die Bücher gehen und z.B. die Definitionen von linearer Unabhängigkeit oder der Dimension auswendig kennen.

wenn du noch konkrete Fragen hast, beantworte ich sie natürlich gerne.
rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von earthie
2. Wenn du die Bilder bestimmen willst, musst du entweder Spaltenumformungen durchführen, oder transformieren und Zeilenumformungen durchführen (und für die Interpretation einfachheitshalber wieder zurücktransformieren)
du hast aber Zeilenumformungen gemacht ohne Transposition, das hilft dir bei der Bestimmung von Bildern der Abbildung nicht weiter.


Also wenn mein Bild jetzt doch richtig ist, dann versteh ich die Welt net mehr. Hab keine Spaltenumformung gemacht und auch nicht transponiert???!?!?!!

Wie du das erklärst und ich es verstanden habe, kommt raus:

also da kommt 100% nciht dasselbe raus, wie ich raus hatte....

Ich studier Elektrotechnik im 2. Semester. und bin kein Mathematiker, dass ich alles 100% verstehen muss. Ich versteh die ganzen definitionen aus Wikipedia nicht. Das Skript setzt die Begriffe immer schon vorraus. Wenn mir das nciht jemand in normalen Worten erklärt, bleibt es dabei, dass ich es ausrechnen kann. Alleine komm ich sowieso nciht mehr weiter.
earthie Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rappozappo
also muss ich meine Matrix auf die Form: bringen. Dann sind die Spalten, die nciht (000) sind, linear unabhängig und somit das Bild? Müsste ja jetzt nur nochmeine Gauß-Form nehmen:

das hier war richtig
earthie Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wie du das erklärst und ich es verstanden habe, kommt raus:

Zitat:
Original von earthie

ist
funktioniert nicht nur mit quadratischen Matrizen (d.h eine 4x3-Matrix transponiert ist nachher von der Form 3x4)

deine Transposition ist falsch!, du musst doch nur noch die Zahlenwerte einsetzen, was ist daran so schwer?
rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »



Ist das Bild so richtig? Oder hab ichs in meinem obigen Beitrag richtig gemacht, wo du gemeint hattest, dass es richtig ist?
Ich seh nämlich überhaupt keinen Sinn, wie ich es oben gerechnet habe. Ich hab einfach den Kern ausgerechnet und dann für z nicht =1, sondern =0 gesetzt ... das kann doch garnet stimmen.
earthie Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Matrix, die du jetzt berechnet hast ist gleichwertig zu der ersten, weil sie den selben Bildraum beschreibt.

Aber wie schon gesagt: solche Betrachtungen erfordern ein minimales Grundverständnis von linearen Abbildungen und woher du das z hast und warum du das selber bestimmen kannst, verstehe ich überhaupt nicht.
rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »

Ach. also dass ichs net versteh, kann ich auch nix zu. Ich versuchs echt, aber bin nich so der Mathematiker. Bin sehr dumm in der Hinsicht, auch wenn ich Ingenieur werde Big Laugh

Kanns vielleicht sein, dass man die letzte Spalte weglässt, weil sie linear abhängig ist von den beiden ersten Spalten? (beim transponieren kommt ja ne 0-Zeile raus) ... Wäre die letzte zeile auch linear unabhängig, könnte man sie auch dazu nehmen als Spalte des Kerns.

Was ich noch nich verstehe ist, warum meine ergebnisse was anderes "anzeigen" aber trotzdem dasselbe sind. Dann köntn ich ja auch gleich sagen, mein Bild sit (1,0,0)traurig 0,1,0) ... dan kürz ich es einfach nur noch.

Aber kannst du mir vielleicht in einfachen Worten erklären, was der Kern und Bild ist? Oder meinst du eher, das ist eh verschwendete Zeit, wenn ich nicht alle Begriffe kann?


Wenn nciht, möchte ich dir trotzdem danken! In der Klausur, wenns hoffentlich drannkommt, werd ich es bestimtm können.^^
earthie Auf diesen Beitrag antworten »

naja kurzerklärung:

die Matrix beschreibt eine lineare Abbildung.
Das Bild ist der Raum in den deine Vektoren abgebildet werden
Der Kern beinhaltet alle Vektoren die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Mathematisch gesehen eine fürchterliche Definition, aber ich kanns nicht anders aufschreiben ohne noch 5 weitere Begriffe zu erklären Augenzwinkern
rappozappo Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die Kurzerklärung ^^
wie du dir aber sicher schon gedacht hast, habe ich es jetzt nicht aufeinmal verstanden Big Laugh

Danke, dass du mir geholfen hast! Bilder und Kerne sind für mich jetzt abgeschlossen!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »