Suche nach Stammintegrale

16.08.2009, 15:55

alphalphi

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Suche nach Stammintegrale

Hallo,

ich will von folgenden Funktionen das Stammintegral finden. Leider bringt die Partielle Integration keine Ergebnisse, weil daraus noch kompliziertere Stammintegrale entstehen. Bei der Substitutionsmethode verhält es sich genauso.

Vielleicht kann mir hier einer helfen.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{x}*\left(\sqrt[4]{x}*\sqrt[3]{x} \right)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{2}*\sqrt{1-x^{2}}} \end{eqnarray*}$

16.08.2009, 16:15

Ungewiss

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Was ist denn ein Stammintegral?

Falls du auf der Suche nach einer Stammfunktion bist, hilft dir beim ersten Kandidaten das Anwenden der Rechenregeln für Potenzen und beim zweiten die Substitution $\begin{eqnarray*} z=\sin(x) \end{eqnarray*}$ .

16.08.2009, 16:21

Mazze

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Es heisst Stammfunktion, nicht Stammintegral.

Die erste Funktion lässt sich äußerst leicht integrieren wenn Du die Potenzgesetze kennst.

Was das zweite Betrifft, so hat mir die Substitution

$\begin{eqnarray*} x = sin(y) \end{eqnarray*}$

gut geholfen. Allerdings hab ich dann einige Sinusformeln benutzen müssen. Einige erfahrene Forenuser hier haben da sicher einen besseren Tip. Aber so gehts auf jeden Fall.

16.08.2009, 16:25

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Beim zweiten Integral ist angesichts von

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{x^3} \left( \frac{1}{x^2}-1 \right)^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$

ist auch die Substitution $\begin{eqnarray*} u = \frac{1}{x^2}-1 \end{eqnarray*}$ eine Überlegung wert.

16.08.2009, 16:27

Ungewiss

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Wenn man $\begin{eqnarray*} sin(z) \end{eqnarray*}$ im zweiten Fall substituiert hat, braucht man keine weiteren Formeln, sofern man die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \cot(x) \end{eqnarray*}$ kennt.

16.08.2009, 16:51

wogir

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Für das zweite Integral würde ich schreiben

$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{x²\sqrt{1-x²}}dx=\int\frac{\sqrt{1-x²}}{x²}dx+\int\frac{1}{\sqrt{1-x²}}dx \end{eqnarray*}$

Den 1. Term partiell integrieren und schon stehts da. Hat den Vorteil, dass man keine trig. substitutionen vornehmen muss.

Gruß wogir

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16.08.2009, 17:00

alphalphi

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Ja, sorry, natürlich heisst es Stammfunktion. Mein Fehler.

Aber was ist mit dem Kennen von Potenzgesetzen für das erste Integral gemeint, kann mir das mal bitte jemand vormachen, wie man es so vereinfachen könnte, damit man die Stammfunktion finden kann?

16.08.2009, 17:10

wogir

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Damit ist

$\begin{eqnarray*} x^{a}x^{b}=x^{a+b} \end{eqnarray*}$

gemeint. Hoffe, du kennst

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt x} = x^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

16.08.2009, 17:15

alphalphi

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RE: Suche nach Stammintegrale

Zitat:

Original von alphalphi
Hallo,

ich will von folgenden Funktionen das Stammintegral finden. Leider bringt die Partielle Integration keine Ergebnisse, weil daraus noch kompliziertere Stammintegrale entstehen. Bei der Substitutionsmethode verhält es sich genauso.

Vielleicht kann mir hier einer helfen.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{x}*\left(\sqrt[4]{x}*\sqrt[3]{x} \right)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{2}*\sqrt{1-x^{2}}} \end{eqnarray*}$

Oh nein, ich habe einen schweren Fehler bei Eingabe der ersten Funktion gemacht. So wie es dasteht, wäre es ja auch viel zu einfach.

Die Funktion lautet anders:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{x}*\left(\sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{x} \right)} \end{eqnarray*}$

Da ist eine Summe drin, das macht es so schwer, wie bei allem, wo Summen drin stecken.

16.08.2009, 17:40

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Dann versuche es mal mit der Substitution $\begin{eqnarray*} u = \sqrt[12]{x} \end{eqnarray*}$ , dann wird der Integrand zu einer gebrochen rationalen Funktion, die du wie üblich integrieren kannst.

16.08.2009, 17:44

alphalphi

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Ich habe für die zweite Funktion als Stammfunktion F(x)=-cot(arcsin(x))

arcsin wegen der Rücksubstitution, kann es stimmen?

16.08.2009, 17:50

Mazze

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Es gilt

$\begin{eqnarray*} \tan ( \arcsin x) = \frac{x}{ \sqrt{1 - x^2} } \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} \end{eqnarray*}$

Ansonsten kannst Du prima selbst überprüfen ob Du richtig gerechnet hast, in dem Du die gewonnene Stammfunktion ableitest. Es muss dann die ursprüngliche Funktion herauskommen. (Dies setzt voraus das Du richtig ableiten kannst Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

16.08.2009, 18:06

Alex-Peter

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RE: Suche nach Stammintegrale
habe gerade gesehen, deine Funktion hat ein + dazwischen
habe dafür noch keine Lösung

16.08.2009, 18:09

alphalphi

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Ja, bei der zweiten Funktion scheint mein Ergebnis richtig zu sein, nachdem ich es dank den trigonometrischen Funktionen abgeleitet habe.
Danke dafür an Mazze.

Jetzt bräuchte ich nur noch Tips, wie ich eine Stammfunktion für die erste Funktion finden kann.

Ich habe den Tip von Arthur Dent nicht richtig verstanden.

16.08.2009, 18:13

AD

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Na führe doch einfach mal die Substitution durch.

16.08.2009, 18:31

alphalphi

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RE: Suche nach Stammintegrale
Ich habe die Substitution durchgeführt und habe als neue Funktion heraus

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[24]{x}*\left(\sqrt[48]{x}+\sqrt[36]{x} \right)} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe leider nicht, wo die Vereinfachung ist. Und wie man es zu einer gebrochen rationalen Funktion überführen kann.

16.08.2009, 18:36

AD

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Potenzrechnung ist nicht deine Stärke, oder? Mit $\begin{eqnarray*} u=\sqrt[12]{x} \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} &=& u^6 \\ \sqrt[4]{x} &=& u^3 \\ \sqrt[3]{x} &=& u^4 \end{eqnarray*}$ ,

sowie mit $\begin{eqnarray*} x = u^{12} \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \dd x = 12 u^{11} ~ \dd u \end{eqnarray*}$ .

16.08.2009, 19:00

alphalphi

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Verstehe, aber ich habe auch leider keinen Plan, wie ich die Stammfunktion gebrochenrationale Funktion berechnen soll.

Wenn ich hier einen Hinweis oder mehr bekommen könnte, wäre ich sehr dankbar.

16.08.2009, 19:03

AD

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Zitat:

Original von alphalphi
Verstehe, aber ich habe auch leider keinen Plan, wie ich die Stammfunktion gebrochenrationale Funktion berechnen soll.

Glaub ich dir nicht - ansonsten müsstest du dein Abitur im Lotto gewonnen haben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Setz doch erstmal ein - was für ein u-Integral kommt da erstmal raus?

P.S.: Dass man immer erst zehnmal gut zureden muss, furchtbar. unglücklich

unglücklich

16.08.2009, 19:52

alphalphi

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Wenn ich mich nicht irre, kommt heraus:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{12u^{11}}{u^{6}*(u^{3}+u^{4})}~du \end{eqnarray*}$

16.08.2009, 19:59

earthie

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kannst du nicht noch was kürzen?

16.08.2009, 20:07

alphalphi

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Ahja:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{12u^{5}}{(u^{3}+u^{4})}~du \end{eqnarray*}$

Aber das Integral ist immer noch nicht ohne. Ich habe mir mal mit dem Integralrechner das Ergebnis angesehen.

So trivial ist das nicht, jedenfalls für mich nicht.

Daher brauche ich noch einen Wink mit dem Zaunpfahl.

16.08.2009, 20:08

earthie

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vielleicht versuchst du's nochmal mit kürzen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.08.2009, 20:12

alphalphi

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Hast ja recht, heute habe ich einen dicken Brett vorm Kopf.
Daher bin ich auf Euch Dickbrettbohrer angewiesen.

$\begin{eqnarray*} \int\frac{12u^{2}}{(1+u)}~du \end{eqnarray*}$

Das sieht ja schon mal viel freundlicher aus.

16.08.2009, 20:16

earthie

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kriegst du den Rest auch noch hin?

16.08.2009, 20:20

alphalphi

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mal schauen, ich versuchs gerade mit partieller Integration

16.08.2009, 20:22

earthie

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Tipp: Substituiere z=u+1

16.08.2009, 20:43

Ungewiss

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Oder mach eine Polynomdivision.

16.08.2009, 23:46

alphalphi

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Hallo,

ich war zwischenzeitlich weg und habe jetzt gerade weitergerechnet.

Ich komme auf die korrekte Stammfunktion der ersten Funktion. Man muss halt 2 mal substituiren.

Polynomdivision bringt m.E. nicht viel.

Danke an alle, die an der Lösung mitgewirkt haben.

Was ich aber nicht nachvollziehen kann, wie ist Arthur Dent auf die Idee mit der Substitution mit u=wurzel12(X) gekommen????

16.08.2009, 23:53

AD

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Zitat:

Original von alphalphi
Polynomdivision bringt m.E. nicht viel.

Gut dass du das "m.E." eingefügt hast, ansonsten wäre der Satz zu verneinen:

$\begin{eqnarray*} \frac{u^2}{1+u} = u-1 + \frac{1}{1+u} \end{eqnarray*}$

dürfte so ziemlich der schnellste und auch naheliegendste Weg zum Ziel sein.

Zitat:

Original von alphalphi
Was ich aber nicht nachvollziehen kann, wie ist Arthur Dent auf die Idee mit der Substitution mit u=wurzel12(X) gekommen????

Weil genau mit dieser Substitution alle Wurzelterme verschwinden und durch Potenzterme ersetzt werden. Was ziemlich praktisch ist, da der dann entstehende gebrochen rationale Integrand bekanntermaßen immer geschlossen integrierbar ist - sofern man die Nennernullstellen in den Griff bekommt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.08.2009, 00:27

alphalphi

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Ja, stimmt. Da muss ich noch etwas üben mit den Integralen. verwirrt

verwirrt

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