Surjektivitäts-/Injektivitätsbeweis

17.08.2009, 12:51

markustm

Auf diesen Beitrag antworten »

Surjektivitäts-/Injektivitätsbeweis

Hallo zusammen,
ich schreibe in ca. 2 Wochen meine Mathe 1/2 Klausur an der Universität und habe begonnen mein Skript systematisch abzuarbeiten und die Übungen zu bearbeiten. Dabei tauchen bei mir ein paar Fragen auf, bei denen ich keine Antwort weiß:
Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} f(x) = 7x^5 - 12 \end{eqnarray*}$
Frage: Wie beweise ich hier Bijektivität?
Ansatz:
Erstmal injektiv: Wenn ich die Umkehrfkt. bilden kann ist eine Fkt. injektiv, das leuchtet mir hier noch ein.
Surjektiv: Ich sehe hier, dass die Fkt. surjektiv ist, aber ich kann das ja nicht beweisen indem ich zum Beispiel erst - 50 und dann +50 einsetze und ich einmal einen positiven und dann einen negativen Wert herausbekomme? Kann ich das hier zeigen, indem ich die Fkt. auf Extremstellen untersuche und nur eine Wendestelle herausbekomme und die Randwerte bei plus und minus unendlich liegen?

Mit freundlichen Grüßen,
Markus

17.08.2009, 12:58

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Surjektivität musst Du zeigen , das für alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ existiert, so dass

$\begin{eqnarray*} f(x) = a \end{eqnarray*}$

gilt. Das sollte Dir bekannt sein. Wie würde man jetzt so ein x finden? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Injektivität, würde ich rein zur Übung nach der Definition beweisen, also wenn

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) \end{eqnarray*}$

gilt, dann soll Folgen dass

$\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$

ist. Das zeigt man schnell in dem man diese Gleichung einfach mal umformt. Was die Umkehrfunktion angeht : Wenn es eine gibt, und wenn diese auch überall im Bild von f definiert ist, dann ist f sogar schon Bijektiv auf der Definitionsmenge und dem Bild. Das Bild muss aber nicht die gesamte Zielmenge sein. (Hier ist sie es aber)

17.08.2009, 13:13

earthie

Auf diesen Beitrag antworten »

kennst du den Zwischenwertsatz? dann sollte es kein Problem sein die Surjektivität zu zeigen.

ZWS: f stetig auf [a,c], dann gilt:
für alle f(a)<x<f(c) existiert ein b aus (a,c), so dass f(b)=x

oder anschaulicheres Bsp: ist f stetig und die Funktion hat für ein x1 den Wert 2 und für ein x3 den Wert 4, dann gibt es ein x2 zwischen x1 und x3, so dass die Funktion den Wert 3 hat.

17.08.2009, 13:19

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zwischenwertsatz ist mMn hier ein wenig zuviel des Guten. Man kann es direkt auflösen und die Urbilder epxlizit angeben für jedes Bildelement.

17.08.2009, 13:29

earthie

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mazze
Zwischenwertsatz ist mMn hier ein wenig zuviel des Guten. Man kann es direkt auflösen und die Urbilder epxlizit angeben für jedes Bildelement.

stimmt, aber wenn man ihn kennt, ist der Beweis ein Einzeiler

17.08.2009, 14:50

markustm

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Für die Surjektivität musst Du zeigen , das für alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ existiert, so dass

$\begin{eqnarray*} f(x) = a \end{eqnarray*}$

gilt. Das sollte Dir bekannt sein. Wie würde man jetzt so ein x finden? Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} f(x) = a => x = ( \frac{a+12}{7})^\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

Ist das jetzt schon der Beweis, dass für alle reelen Zahlen a ein x existiert?

Zitat:

Die Injektivität, würde ich rein zur Übung nach der Definition beweisen, also wenn

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) \end{eqnarray*}$

gilt, dann soll Folgen dass

$\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$

ist. Das zeigt man schnell in dem man diese Gleichung einfach mal umformt. Was die Umkehrfunktion angeht : Wenn es eine gibt, und wenn diese auch überall im Bild von f definiert ist, dann ist f sogar schon Bijektiv auf der Definitionsmenge und dem Bild. Das Bild muss aber nicht die gesamte Zielmenge sein. (Hier ist sie es aber)

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) => 7x^5 - 12 = (\frac{y+12}{7})^\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$
Wenn ich das mit 5 quadriere und auflöse kommt nur Blödsinn bei raus, aber niemals x = y.

Und ja, der ZWS ist mir auch bekannt: Hier ist f(x) ja auch stetig, aber um jetzt deinem Beispiel zu folgen, muss ich dann für
$\begin{eqnarray*} x1 = - \infty \end{eqnarray*}$
und für
$\begin{eqnarray*} x3 = +\infty \end{eqnarray*}$
und daher gilt, dass die anderen Werte dazwischen liegen sprich surjektiv?

Anzeige

17.08.2009, 15:05

earthie

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von markustm

$\begin{eqnarray*} f(x) = a => x = ( \frac{a+12}{7})^\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

Ist das jetzt schon der Beweis, dass für alle reelen Zahlen a ein x existiert?

jetzt musst du nur noch zeigen, dass dieses x auch im Definitionsbereich der Abbildung liegt (hier also in IR).

Zitat:

Und ja, der ZWS ist mir auch bekannt: Hier ist f(x) ja auch stetig, aber um jetzt deinem Beispiel zu folgen, muss ich dann für
$\begin{eqnarray*} x1 = - \infty \end{eqnarray*}$
und für
$\begin{eqnarray*} x3 = +\infty \end{eqnarray*}$
und daher gilt, dass die anderen Werte dazwischen liegen sprich surjektiv?

Jein

Augenzwinkern

Die Idee ist richtig, aber du kannst die Werte nicht unendlich setzen, weil unendlich nicht in R liegt.
Es reicht zu zeigen, dass es für alle a aus IR die Werte x1,x2 gibt so dass f(x1) < a <f(x2).
Damit wäre die Surjektivität bewiesen (vorausgesetzt, dass die Stetigkeit von Polynomen bekannt ist, sonst müsstest du die noch separat beweisen).

17.08.2009, 15:12

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) => 7x^5 - 12 = (\frac{y+12}{7})^\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Es ist

$\begin{eqnarray*} f(x) = 7x^5 - 12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(y) = 7y^5 - 12 \end{eqnarray*}$

Die beiden Gleichungen werden gleichgesetzt. Wie kommst Du auf die Idee für $\begin{eqnarray*} f(y) \end{eqnarray*}$ das Urbild einsetzen zu wollen?

17.08.2009, 15:16

markustm

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke an euch beide,
jetzt habe ich es verstanden.

Ich hatte im Hinterkopf, dass f(y) die Umkehrfunktion von f(x) ist, aber da ich es gerade nochmal nachgelesen habe und ich es jetzt auch hier in der Antwort sehe ist das ja falsch. Dass ich die Gleichungen nun gleichsetzen und auflösen kann und dann auf x = y komme wird mir nun klar.

Vielen Dank!

17.08.2009, 15:19

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Nur noch als Hinweis, die Umkehrfunktion wird meistens mit $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x) \end{eqnarray*}$ bezeichnet Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

18.08.2009, 13:44

markustm

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss den Thread hier doch noch mal aufmachen, da ich eine weitere Frage habe:

Zitat:

Die Injektivität, würde ich rein zur Übung nach der Definition beweisen, also wenn

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) \end{eqnarray*}$

gilt, dann soll Folgen dass

$\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$

ist.

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ ist ja nicht injektiv, aber wo ist hier mein Fehler?
$\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) => x² = y² => x = y \end{eqnarray*}$

18.08.2009, 13:52

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Aus x² = y² folgt nicht x = y (sondern nur |x| = |y|).

Z. B. gilt (-1)² = 1², obwohl -1 ungleich 1.

18.08.2009, 14:21

markustm

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe diesen Eintrag dann mal editiert:

Bei einer Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x) = x^3 \end{eqnarray*}$ , die ja bekanntlich injektiv ist, kann ich also folgendes anwenden, um die Injektivität zu beweisen:
Wenn $\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) \end{eqnarray*}$
gilt, dann folgt
$\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$
Sprich hier:
$\begin{eqnarray*} x^3 = y^3 => x = y \end{eqnarray*}$
Ist der Beweis hier richtig geführt?

18.08.2009, 14:27

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Drück dich ordentlich aus. Man kannn deine letzte Frage nicht beantworten, weil sie missverständlich gestellt ist.

18.08.2009, 14:31

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von earthie

Zitat:

Original von Mazze
Zwischenwertsatz ist mMn hier ein wenig zuviel des Guten. Man kann es direkt auflösen und die Urbilder epxlizit angeben für jedes Bildelement.

stimmt, aber wenn man ihn kennt, ist der Beweis ein Einzeiler

Dann zeig mal deinen Einzeiler her. Auch hier muss man in gewissem Sinne die Gleichung nach x auflösen. IMHO kein Gewinn.

18.08.2009, 15:51

Gaußsche Zahl

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

jetzt musst du nur noch zeigen, dass dieses x auch im Definitionsbereich der Abbildung liegt (hier also in IR).

Es ist $\begin{eqnarray*} x = (\frac{y+12}{7})^{\frac{1}{5}} \end{eqnarray*}$ , wie zeige ich denn jetzt das $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist??

Setze nämlich $\begin{eqnarray*} y = -1000 \end{eqnarray*}$ , dann wird die Sache schwer oder nicht?

Zitat:

Jein Augenzwinkern Die Idee ist richtig, aber du kannst die Werte nicht unendlich setzen, weil unendlich nicht in R liegt. Es reicht zu zeigen, dass es für alle a aus IR die Werte x1,x2 gibt so dass f(x1) < a <f(x2). Damit wäre die Surjektivität bewiesen (vorausgesetzt, dass die Stetigkeit von Polynomen bekannt ist, sonst müsstest du die noch separat beweisen).

...sry das ich jetzt in diesem Threat so dazwischen poste, aber $\begin{eqnarray*} f(x_1) < a = y < f(x_2) \end{eqnarray*}$ verstehe ich nicht so ganz.

18.08.2009, 17:13

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Für ungerade Exponenten n gibt es für jede negative reelle Zahl x ein negatives $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} y^n = x \end{eqnarray*}$ . Nämlich $\begin{eqnarray*} y = -\sqrt[n]{-x} \end{eqnarray*}$

19.08.2009, 10:26

Gaußsche Zahl

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Für ungerade Exponenten n gibt es für jede negative reelle Zahl x ein negatives $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y^n = x \end{eqnarray*}$ . Nämlich $\begin{eqnarray*} y = -\sqrt[n]{-x} \end{eqnarray*}$

Setze $\begin{eqnarray*} x = -27 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = -3 \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} (-3)^3 = -27 \Longleftrightarrow -3 = - (-27)^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

Sry auch wenn das Schulmathematik ist, wenn man die Wurzel aus einer negativen Zahl zieht habe ich in der Schule gelernt, dann ist es komplex. Insofern kann ich dieser Ausführung leider nicht so ganz folgen... geschockt

geschockt

19.08.2009, 10:29

Ungewiss

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn x negativ ist, ist -x positiv...

Auf dein Beispiel bezogen:

$\begin{eqnarray*} -3=-\sqrt[3]{-(-27)}=-\sqrt[3]{27} \end{eqnarray*}$

19.08.2009, 10:48

Gaußsche Zahl

Auf diesen Beitrag antworten »

O.k. und wenn x positiv ist die Sache eh klar somit ist dann ja gezeigt, dass es sich hier um reeles x handelt.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »