Warum existiert ein Häufungspunkt aber nicht ein Supremum? |
| 17.08.2009, 15:46 | SoerenC | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Warum existiert ein Häufungspunkt aber nicht ein Supremum? Sei Wir wissen, dass jede reelle Zahl ein Haufungspunkt von Q ist. Somit ist Wurzel(2) ein Häufungspunkt obiger Menge. Das Supremum muss ja nicht zu der Menge selbst gehören. Es ist aber die kleinste obere Schranke. Es ist klar, das Wurzel(2) eine reelle Zahl ist. Aber warum darf eine reelle Zahl Wurzel(2) ein Häufungspunkt von der Menge M sein, aber nicht auch das Supremum?? |
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| 17.08.2009, 15:55 | earthie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Warum sollte ein Häufungspunkt nicht das Supremum einer Menge sein? M={(-1)^n | n aus IN]}. 1 ist ein HP und das Supremum dieser Menge. |
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| 17.08.2009, 20:10 | SoerenC | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, genau darum geht es. Bei Deinem Fall ist der Haufungspunkt bei +1 gleichzeitig der Limes superior und der bei -1 der Limes inferior (der größte und kleinste Haufungspunkt). Jedoch gibt es keine Konvergenz. Das ist immer so, wenn es mehr als einen Häufungspunkt gibt. Bei meinem Beispiel jedoch weiß ich, dass Wurzel(2) zwar ein Häufungspunkt der Menge M ist, aber nicht das Supremum sein kann. Besser gesagt, die Menge M (mein Beispiel) hat unendlich viele Häufungspunkte. Das können auch alle irrationale Zahlen mit x² kleiner oder gleich 2 sein. Im Gegensatz zum Häufungspunkt muss das Supremum im gleichen Zahlenbereich sein, hier also eine rationale Zahl mit x² = 2. Die gibt es aber nicht in Q, da Wurzel(2) irrational ist. Ich will wissen, warum das dann kein Supremumg (kleinste obere Schranke) sein kann. Besser gesagt, für die Menge M gibt es kein Supremum. Warum? |
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| 17.08.2009, 20:42 | Romaxx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, Was sind deine Definitionen für Häufungspunkt und Supremum? Bei Häufungspunkten wie ich sie kenne, kommt es sehr wohl auf die zugrunde liegende Menge an: Sei metrischer Raum und Teilmenge von . Der Punkt aus heißt Häufungspunkt der Menge genau dann, wenn folgende Aussage gilt: |
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| 17.08.2009, 22:05 | earthie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zorn'sches Lemma:
Warum sollte deine Menge KEIN Supremum haben? |
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| 17.08.2009, 22:18 | earthie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich würde sogar behaupten Wurzel(2) ist das Supremum, weil es rationale Zahlen gibt die beliebig nahe an Wurzel(2) liegen. Die Streitfrage wäre dann eher bei der Notation zu suchen, denn rein rechnerisch ist diese Zahl beliebig nahe an Wurzel(2) nicht von der irrationalen Zahl Wurzel(2) zu unterscheiden. |
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| 17.08.2009, 23:48 | Romaxx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo earthie,
Was hat das mit der Existenz von einem Supremum zu tun? Maximale Elemente sind etwas ganz anderes! BaldrianForte hat in der Hinsicht schon recht, siehe hier unter 'Andere halbgeordnete Mengen'. Gruß |
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| 18.08.2009, 01:15 | SoerenC | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also, OK, ich hab die Lösung. Ich habe in der Eingangsfrage einen Fehler gemacht: M ist eine Menge über den rationalen Zahlen. Wir wissen, das Supremum muss in M nicht enthalten sein. Wenn es dieses gibt, so ist es aber in der Obermenge von M enthalten. Ich habe aber nicht gesagt, ob die Menge M eine Teilmenge der reellen Zahlen R oder der rationalen Zahlen Q ist. Hätten wir das als Teilmenge der reellen Zahlen R gemacht, wäre das mit dem Supremum kein Problem. Dann gäbe es das Supremum. Hätten wir das als Teilmenge der rationalen Zahlen Q gemacht, wäre das mit dem Supremum jedoch ein Problem. Denn das Supremum muss zumindest in der Obermenge enthalten sein können. Wenn die Obermenge von M nun die rationalen Zahlen sind, ist Wurzel(2) nicht in dieser Obermenge enthalten. Klar. Das jedoch ist das eigentliche Problem. Denn für jede obere Grenze, für die nun x² < 2 gilt, gibt es eine noch kleinere obere Grenze. Wir können uns der "eigentlichen" oberen Grenze Wurzel(2) beliebig nahe annähern, ohne diese jemals zu erreichen. ---- Bei dem oben gezeigten Beispiel handelt es sich um eine der fundamentalen, immer wiederkehrenden Fragestellungen in der Mathematik: Existiert ein (vorher definiertes) Objekt? Gleichrangig ist die Bedeutung der Frage nach der Eindeutigkeit eines (vorher definierten) Objekts. Wir wissen, ein Supremum ist immer eindeutig. Wir haben gesehen, dass es kein eindeutiges Supremum für M als Teilmenge von Q geben kann. Dies ist das sogenannte LUB-Axiom. (least upper bound) |
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| 18.08.2009, 01:15 | SoerenC | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
danke allen. |
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