irreduzible Polynome

17.08.2009, 16:53

MrHanky

irreduzible Polynome

Hallo zusammen,
kann mir jemand erklären, wann ein Polynom irreduzibel ist? Muss ich dazu die Polynomdivision machen, bis ich die Linearfaktorzerlegung habe? Und wie kann ich erkennen, dass es bei z.B einem Polynom 5. Grades keine Nullstellen gibt?

Viele Grüße,
MrHanky

17.08.2009, 20:21

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ein Polynom f ist irreduzibel wenn für jede Zerlegung f=g*h gilt dass der Grad von g oder der Grad von h 0 ist.

Irreduzibel ist aber unabdingbar mit dem zugehörigen Körper verbunden. x^2+1 ist irreduzibel über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ aber nicht über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ .

Ein Polynom zerfällt so immer über seinem Zerfällungskörper, bzw. über einem algebraischen Abschluss.
$\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist der alg. Abschluss von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Stelle doch bitte anhand dieser Informationen deine Frage neu

17.08.2009, 21:26

MrHanky

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, vielen Dank, ich glaube so weit habe ich es verstanden. Also müsste ich dann wie vermutet eine Linearfaktorzerlegung machen. Sind das dann die Primfaktoren des Polynoms? Ich meine, unser Prof. hätte mal erwähnt, dass diese bei bestimmten Koeffizienten nicht immer eindeutig ist. Wie hat er das gemeint? Ist dann x^2+1 in Q so ein Fall?
Und wie erkenne ich, ob z.B. x^5+15x^3-30x^2+45 in Q irreduzibel ist? Für eine Polynomdivision muß ich ja eine Nullstelle raten.....

LG, MrH

17.08.2009, 21:40

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Primpolynome in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} ax+b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Die Linearfaktorzerlegung ist also bis auf einen konstanten Faktor eindeutig. Meistens normiert man die Polynome einfach, so wird die Zerlegung eindeutig. In allgemeinen Ringen mit Primfaktorzerlegung kann man dass nicht mehr so einfach machen.

x^2+1 ist ja irreduzibel in Q. Es gilt x^2+1 = (x-i)(x+i) in C.

x^5+15x^3-30x^2+45 ist nach dem Eisensteinkriterium irreduzibel.

17.08.2009, 21:53

MrHanky

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie meinst du das mit dem Normieren der Polynome und dass dies in allgemeinen Ringen nicht geht?
Ist x^2+1 eine Primzahl bzw. Linearfaktor in Q?
Und was ist, wenn ich ein Polynom habe, auf das ich das Eisensteinkriterium nicht anwenden kann?

VG, MrHanky

17.08.2009, 22:09

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MrHanky
Wie meinst du das mit dem Normieren der Polynome und dass dies in allgemeinen Ringen nicht geht?

In allg. ZPE Ringen sind die Primelemente nur bis auf Assoziertheit eindeutig. Nach dem Lemma von Gauß kann man also Polynome nicht eindeutig zerlegen über solchen Ringen

Zitat:

Ist x^2+1 eine Primzahl bzw. Linearfaktor in Q?

Weder noch. Linearfaktor heißt dass das Polynom linear ist, dieses ist aber quadratisch! Eine Primzahl ist es auch nicht, es ist ein Polynom und keine Zahl. Das Polynom ist allerdings prim, das ist in einem faktoriellen Ring wie $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[x] \end{eqnarray*}$ allerdings gleichbedeutend mit irreduzibel.

Zitat:

Und was ist, wenn ich ein Polynom habe, auf das ich das Eisensteinkriterium nicht anwenden kann?

Die Aufgabe zu entscheiden ob ein Polynom irreduzibel ist, ist nicht-trivial. Es gibt einige Kriterien wie z.B. das bereits genannt Eisensteinkriterium oder das Reduktionskriterium. Aber im Allgemeinen kann man das nicht so leicht entscheiden!

17.08.2009, 22:27

MrHanky

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, super vielen Dank, das hat mir schon sehr weiter geholfen! Nur das mit der Eindeutigkeit habe ich noch nicht so verstanden. Sind jetzt z.B (x^2+1) oder (x^2-2)(x^2+1) eindeutig?

VG, MrHanky

17.08.2009, 22:34

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann deinen Wissensstand immer noch nicht so recht einordnen. Zum einen fragst du bei noch so komplizierten Begriffen die ich fallen lasse nicht nach, zum anderen hast du immer noch nicht verstanden dass die Zerlegung sehr auf den Polynomring ankommt in dem zerlegt wird.

Deine Zerlegungen sind in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ eindeutig, da prim. Man könnte natürlich noch nach Einheiten zerlegen, so ist natürlich $\begin{eqnarray*} (x^2+1)=\frac{1}{2}(2x^2+2) \end{eqnarray*}$ . Deswegen sagt man normalerweise dass die Primpolynome für die Eindeutigkeit normiert werden.

Schauen wir uns den Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt 2) \end{eqnarray*}$ , den kleinsten Körper der $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ enthält, an. Betrachtet man darüber die Polynome so ist dort $\begin{eqnarray*} (x^2+1) \end{eqnarray*}$ vollständig zerlegt, aber $\begin{eqnarray*} (x^2-2)(x^2+1) = (x-\sqrt 2)(x+\sqrt 2)(x^2+1) \end{eqnarray*}$ .

In $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\mathrm i) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (x^2-2)(x^2+1) = (x-\mathrm i)(x+\mathrm i)(x^2-2) \end{eqnarray*}$ .

Und letztendlich ist in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\mathrm i, \sqrt 2) \end{eqnarray*}$ bzw. auch in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} (x^2-2)(x^2+1) = (x-\mathrm i)(x+\mathrm i)(x-\sqrt 2)(x+\sqrt 2) \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

irreduzible Polynome

Verwandte Themen