Wurzelfunktion ableiten und zusammenfassen

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nachtfalke Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzelfunktion ableiten und zusammenfassen
Hey zusammen!

ich übe gerade Mathe (eigenes Abi schon 6 Jahre her, möcht ab Okt studieren)Bin leicht verzweifelt und hoff, dass mir jemand schnell weiterhelfen kann.. bin für jeden Kommentar dankbar!!

ich fang dann mal an: gegeben ist folgeden Fkt.
f(x) =

Aufgabe: erste Ableitung.
Damit hab ich, so hoff ich zumindest keine Probleme:

mein Lösungsvorschlag:



Das hab ich dann nochmal folgendermaßen ausmultipliziert/zusammengefasst:



So und nun ist Feierabend. Mein Problem ist nämlich das weitere Zusammenfassen von Wurzeltermen.
Hatte zunächst die Idee alles auf einen Hauptnenner zu bringen aber da kam dann was völlig anderes raus (wie muss ich den Zähler erweitern, wenn ich einen gemeinsamen Hauptnenner suche? Oder gibt es eine bessere Variante?)

Daher mein Hilferuf: wie kann ich die Wurzelterme unformen, damit diese sich nochmals kurzen lassen??? Mein riesen Problem ist, wie gesagt, das Zusammenfassen von Bruchtermen die Wurzeln enthalten, da ich nicht mehr weiß wie das genau ging...
meine Notlösung war das ganze in Potenzen umzuformen und das funktioniert auch. Nur: ich möcht auch gerne die "Wurzelvariante" hinbekommen...

Irgendwann sollte es, laut Musterlösung, so aussehen:



Hat mir jemand hierfür ein paar Tipps (oder gute links mit Übungsaufgaben für Bruchterme mit Wurzelfkt?), wo ich mich schlau machen kann...

danke im voraus!!!!!!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Als richtigen Fehler seh ich die Zusammenfassung: Da steht statt der Klammer (x-5) zum Quadrat plötzlichn och der Faktor x zum Quadrat; sonst; bei der ersten Ableitung steht nicht f'(x) davor und im letzten Faktor des letzten Produkts sollte Wurzel x wohl im Nenner stehen, allerdings ist es beim Zusammenfassen ja richtig.

Und ja, um die auf einen Bruch zu bringen musst du den linken erweitern. Schreib mal deine Erweiterung auf.
nachtfalke Auf diesen Beitrag antworten »

hey IfindU, danke für die schnelle Antwort und Hilfe...

oh ja sorry das sollte eigentlich so aussehen (hab mich vertippt beim formeleditor):



also gut: ich geh jetzt davon aus, dass es beim erweitern genauso geht wie immer: sprich Hauptnenner wäre


und daher muss ich den Zähler auf der linken Seite noch mit erweitern. richtig?

daraus würd sich ja dann vorerst folgendes für den linken Teil ergeben:



so weit so gut??? wenn ja, kann ich das auf der linken Seite im Zähler gleich noch irgendwie zusammenfassen?
Alex-Peter Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzelfunktion ableiten und zusammenfassen
Ich habe diese Lösung

ich sehe gerade, dass es die gleiche Lösung ist!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzelfunktion ableiten und zusammenfassen
Stimmt alles, zur Übung könntest du es noch zusammenfassen, kannst dir aber auch sparen. [Das Zusammenfassen würde dir bei der Nullstellensuche, die sich nach solchen Sachen gerne anschließt enorm helfen]
mtfcs Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen





Es gibt Professoren, die nur eine zusammengefasste und vereinfachte Lösung als richtige Lösung akzeptieren...
 
 
nachtfalke Auf diesen Beitrag antworten »

vorweg: danke! jetzt kann ich wieder ruhig schlafen Augenzwinkern

hab es jetzt mal nachgerechnet und komm so weit auch mit.

folgende Fragen hab ich aber noch

1.
das ist der dritte Binom oder? den hätt ich jetzt nicht erkannt - sprich: hätte es nicht weiter gekürzt.
woran erkenn ich den denn? kann ich mir hier irgendeine Regel merken?

2. vorletzter Schritt: da erweiterst du den Nenner nochmals um Wurzel x. Genau das war immer meine Schwierigkeit. Folgendes Verständnisproblem

Stimmt es dass:


erklär mir mein Vorgehen jetzt so: wurzel und potenz heben sich gegenseitig auf. stimmt oder?


3. IfindU hat es schon angedeutet: Nullstellensuche.

würde es bei dieser Ableitung jetzt reichen, wenn ich nur den Zähler auf Null untersuche?
Meine Idee: Wenn der Zähler 0 ist bedeutet es ja, dass der ganze Bruch 0 wird.
Ich frage deshalb, da ich mir so ja, vorausgesetzt es geht, jede Menge Zeit sparen könnte beim ausrechnen...
Mistmatz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von nachtfalke
1.
das ist der dritte Binom oder? den hätt ich jetzt nicht erkannt - sprich: hätte es nicht weiter gekürzt.
woran erkenn ich den denn? kann ich mir hier irgendeine Regel merken?


Drittes Binom? Nein, das lautet:
Das ist viel mehr der Satz von Vieta: Hat eine Gleichung der Form die Lösungen und , dann gilt: und


Zitat:

2. vorletzter Schritt: da erweiterst du den Nenner nochmals um Wurzel x. Genau das war immer meine Schwierigkeit. Folgendes Verständnisproblem

Stimmt es dass:


erklär mir mein Vorgehen jetzt so: wurzel und potenz heben sich gegenseitig auf. stimmt oder?


Ja, das stimmt. Wurzelziehen entspricht und anschließendes Quadrieren dann .
Den Rest erledigen die Potenzgesetze.


Zitat:

3. IfindU hat es schon angedeutet: Nullstellensuche.

würde es bei dieser Ableitung jetzt reichen, wenn ich nur den Zähler auf Null untersuche?
Meine Idee: Wenn der Zähler 0 ist bedeutet es ja, dass der ganze Bruch 0 wird.
Ich frage deshalb, da ich mir so ja, vorausgesetzt es geht, jede Menge Zeit sparen könnte beim ausrechnen...


Setz doch mal den Nenner eines Bruches 0. Was ist denn an der Stelle ?
nachtfalke Auf diesen Beitrag antworten »

sorry ich meinte nicht nullstelle, sondern extrempunte (speziell auf diese Ableitung bezogen bzw. Ableitungen, die Brüche sind)

sprich f´(x)=0

und in meiner obigen ableitung hab ich ja einen Bruch mit Variablen (hier: x).
Daher meine Überlegung: Nimm dir den Zähler vor und untersuch diesen Teil der Ableitung auf Null.
Dann hab ich gemeint, wenn nun beispielweise x=3 rauskommt, dann ist das die Lösung / hier ist ein Extremum. Denn was interessiert mich dann noch der Nenner, wenn mein Zähler 0 wird. Oder gibt es noch weitere Möglichkeiten, wenn ich den Nenner mitbetrachte?
PS wobei du mich jetzt mit deinem Bsp. schon ziemlich verunsichert hast, denn da ist es ja wirklich schon widerlegt verwirrt



zu Vieta:


meine Gleichung:

noch durch fünf teilen:



so jetzt erinnert mich vieta, auch jahre nach meinem Abi, direkt an die Mitternachtsformel - mit der werd ich das jetzt mal berechnen. diese idee zum berechnen funktioniert nun zwar (aber ich glaub kaum, dass es die Musterlösung ist Augenzwinkern )
kann ich das auch auf ne schnellere weise erledigen?

Meine Berechnung:
p=6 und q=5

Mitternacht liefert so:


und somit x1= -1 und x2=-5
Mistmatz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
PS wobei du mich jetzt mit deinem Bsp. schon ziemlich verunsichert hast, denn da ist es ja wirklich schon widerlegt


Das wollte ich nicht. Grundsätzlich gilt, das ein Bruch nur 0 werden kann, wenn der Zähler 0 ist. Denn, wenn der Nenner 0 wird, ist der Bruch nicht definiert.
Daher, kannst du dir bei der Nullstellensuche bei gebrochen-rationalen Funktionen, immer gleich den Zähler rauspicken.
Wichtig ist der Nenner nur, wenn eine Nullstelle des Zählers auch im Nenner vorkommt(!), dann lässt sich nämlich ein Linearfaktor des Typs ausklammern und im Zähler wie im Nenner kürzen:
Beispiel: lässt sich auch schreiben als
Gekürzt ist es dann
In diesem Fall ist (x-1) keine Nullstelle (Frage an dich: Was ist (x-1) dann?)

Zitat:
diese idee zum berechnen funktioniert nun zwar (aber ich glaub kaum, dass es die Musterlösung ist


Doch, eigentlich schon: Du suchst bei Funktionen meistens immer nur die Nullstellen. Denn, hast du eine Stelle x_1, für die gilt: f(x_1) = 0 und vielleicht noch f(x_2) = 0, kannst du die Funktion darstellen als
Du kannst somit die Funktion in Linearkombinationen zerlegen, getreu dem Motto: Ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.
Hast du eine Funktion schon als Kombination solcher Linearfaktoren, siehst du die Nullstellen direkt. Ansonsten, musst du sie erst zerlegen, d.h. Nullstellen suchen (raten) und anschließend Ausklammern / Polynomdivision (wenn möglich), das dann solange, bis du eine Funktion 2. Grades hast und hier hilft dir dann Vieta / Mitternacht.

Nun zu deiner Gleichung:
Zitat:


Dass muss heißen

Außerdem:
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar geht das alles viel schneller.

In der Rechnung von mtfcs heißt es ja:



So, im nächste Schritt hat er ausmultipliziert, und das ist der "Fehler".

Indem man (x-5) ausklammert, hat man das Ergebnis schon fast da stehen:




Zitat:
Original von nachtfalke
meine Gleichung:

noch durch fünf teilen:


Wenn man das durch 5 teilt, ändert sich aber nirgends das Vorzeichen, warum hast du das geändert?


Zitat:
Original von nachtfalke
Mitternacht liefert so:


und somit x1= -1 und x2=-5


Wie kommst du denn darauf, dass aus die beiden Ergebniss -1 und -5 hervorgehen?!

nachtfalke Auf diesen Beitrag antworten »

hey zusammen! danke für die große beteiligung

1. Vieta: also da habt ihr eindeutig recht - da stimmt was nicht...
ich hab keine ahnung mehr wie ich das zusammengedichtet hab Augenzwinkern

Vorzeichenfehler war auch noch drin..sorry...asche über mein haupt...

Ich schreibs einfach nochmal hin, Mitternacht und quadratische ergänzung:
Problem: wo ist mein Fehler???
ich möcht ja (x-1)*(x-5) rauskriegen.da lag mein problem, dass ich das nicht erkannt habe, wie man zu (x-1)(x-5) zusammenfasst.
mit mitternacht und co. berechne ich ja jetzt schon die Nullstellen oder?





p=-6 und q=5




















x1=5 x2=1


2. betrifft "Q-fLaDeN"
danke für die interssante alternative!
versteh ich das richtig: dein vorgehen ist erst mal alles was möglich ist ausklammern und danach, wenn nötig, noch ausmultipl.?
so spar ich mir natürlich evtl. fehler beim ausmultipl. ...
nur hätt ich jetzt persönlich eher die variante von "mtfcs" bevorzugt-kann der ganzen geschichte besser folgen..

ist das eurer ansicht nach aber die "schlechtere" alternative? im bezug auf fehlerquellen und zeitaufwand usw.? wie schätzt ihr das ein?


3. betrifft antwort von "mistmatz"

" Wichtig ist der Nenner nur, wenn eine Nullstelle des Zählers auch im Nenner vorkommt(!)"
das hab ich jetzt nicht verstanden.

auf dein bsp. bezogen: ich geb jetzt mal kurz meine gedanken wieder:

hier erkenn ich auch ohne weiteres ausrechnen die nullstellen, so wie es natürlich am schönsten wäre...

mein vorgehen:
(x-1) = (1-1)=0 und somit x=1
und (x-5) = (5-5)=0 und somit x=5

so und nun hab ich x=1, eine Nullstelle des Zählers, auch im Nenner.
wenn ich nun x=1 einsetze so hab ich , sowohl im Zähler als auch im Nenner, folgendes Problem nämlich: (1-1)*(1-5) = 0*-4 und somit NULL
und im Nenner (1-1)... = 0*-2 und somit auch NULL
alles null eben Augenzwinkern und da Null geteilt durch Null ein "matheerror" ist ist es nicht definiert? stimmt das jetzt ???

ps: das bedeutet wenn ich nicht gleich im bruch erkenne (weil ich bsp nicht zu dem ergebnis (x-5)(x-1) gekommen bin), dass sowohl der zähler als auch der nenner eine Nullstelle enthält hilft nur: beides untersuchen. sprich: Zähler nullsetzen - Ergebnis bsp x=5 und x=1 . Danach nenner nullsetzen - ergebins bsp x=1. Resultat daraus: x=1 besser nicht beachten. so möglich? wobei das dann natürlcih meinen ganze zeitersparnis, die ich mit der alleinigen Zähleruntersuchung erreichen wollte, zunichte macht..
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, mit Vieta/der Lösungsformel hast dus ja jetzt hinbekommen.

Zitat:
Original von nachtfalke
danke für die interssante alternative!

Das ist eher der schnellere und einfachere Lösungsweg, als eine Alternative.

Zitat:
Original von nachtfalke
versteh ich das richtig: dein vorgehen ist erst mal alles was möglich ist ausklammern und danach, wenn nötig, noch ausmultipl.?


Ich hab lediglich (x-5) ausgeklammert, ausmultipliziert habe ich gar nichts.

Wieso machst du es denn komplizierter als es ist?

Es ist doch schwachsinnig, erst auszumultiplizieren, und danach wieder zu faktorisieren.

Das ist wie wenn ich anstatt schreibe. Oder wenn ich z. B. eine folgende Umformung mache:




Zitat:
Original von nachtfalke
mein vorgehen:
(x-1) = (1-1)=0 und somit x=1
und (x-5) = (5-5)=0 und somit x=5


Streng genommen ist das nicht ganz richtig. Denn
Wenn du aber die Gleichung x-1=0 lösen willst, dann ist das wohl richtig, und das meinst du sicher auch damit. Ich will dich lediglich darauf hinweisen, auf deine Schrebweise zu achten.

Zitat:
Original von nachtfalke
so und nun hab ich x=1, eine Nullstelle des Zählers, auch im Nenner.
wenn ich nun x=1 einsetze so hab ich , sowohl im Zähler als auch im Nenner, folgendes Problem nämlich: (1-1)*(1-5) = 0*-4 und somit NULL
und im Nenner (1-1)... = 0*-2 und somit auch NULL
alles null eben Augenzwinkern und da Null geteilt durch Null ein "matheerror" ist ist es nicht definiert? stimmt das jetzt ???


Über welche Funktion sprichst du hier eigentlich? Sonst: Natürlich ist das nicht definiert, durch 0 teilen durfte man noch nie Augenzwinkern

Zitat:
Original von nachtfalke
ps: das bedeutet wenn ich nicht gleich im bruch erkenne (weil ich bsp nicht zu dem ergebnis (x-5)(x-1) gekommen bin), dass sowohl der zähler als auch der nenner eine Nullstelle enthält hilft nur: beides untersuchen. sprich: Zähler nullsetzen - Ergebnis bsp x=5 und x=1 . Danach nenner nullsetzen - ergebins bsp x=1. Resultat daraus: x=1 besser nicht beachten. so möglich? wobei das dann natürlcih meinen ganze zeitersparnis, die ich mit der alleinigen Zähleruntersuchung erreichen wollte, zunichte macht..


Ein wenig besser ist: (und damit machst du deine "Zeitersparnis" auch nicht zunichte)
Zähler untersuchen, Nullstelle(n) finden.
Diese Nullstellen mit dem vorher bestimmte Definitionsbereich vergleichen (da man den meinst sowieso vorher bestimmen muss). Falls es Übereinstimmungen gibt, ist diese vermeintliche Nullstelle, eben keine.
Mistmatz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ein wenig besser ist: (und damit machst du deine "Zeitersparnis" auch nicht zunichte)
Zähler untersuchen, Nullstelle(n) finden.
Diese Nullstellen mit dem vorher bestimmte Definitionsbereich vergleichen (da man den meinst sowieso vorher bestimmen muss). Falls es Übereinstimmungen gibt, ist diese vermeintliche Nullstelle, eben keine.


Sowas in der Art hab ich gemeint, hab mich nur zu kompliziert ausgedrückt smile

Gehen wir mal zurück zu deiner Aufgabe:



Nun suchst du die Nullstellen von , sprich Extrema von .
Du musst also überlegen, wann wird der Bruch null. Das hatten wir glaub ich weiter oben schon: Der Zähler muss null sein, also:



Nun überleg dir die Lösungen.
nachtfalke Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso machst du es denn komplizierter als es ist?

Das ist wie wenn ich anstatt schreibe. Oder wenn ich z. B. eine folgende Umformung mache:



geb dir recht... sorry..ist wirklich vernünftiger...

Zitat:
Original von nachtfalke
so und nun hab ich x=1, eine Nullstelle des Zählers, auch im Nenner.
wenn ich nun x=1 einsetze so hab ich , sowohl im Zähler als auch im Nenner, folgendes Problem nämlich: (1-1)*(1-5) = 0*-4 und somit NULL
und im Nenner (1-1)... = 0*-2 und somit auch NULL
alles null eben Augenzwinkern und da Null geteilt durch Null ein "matheerror" ist ist es nicht definiert? stimmt das jetzt ???


Über welche Funktion sprichst du hier eigentlich?

hier hat mir mistmatz, etwas weiter vorne, ein Übungsbeispiel gegeben für das Problem Nullstelle sowohl im Zähler als auch nenner:



worauf du mir ja dann auch noch geantwortet hast: mit Definitionsbereich abstimmen....

ps danke für die antwort! hab´s kapiert! smile
nachtfalke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:




"Nun suchst du die Nullstellen von , sprich Extrema von .
Du musst also überlegen, wann wird der Bruch null. Das hatten wir glaub ich weiter oben schon: Der Zähler muss null sein, also:



Nun überleg dir die Lösungen.



Also ich hab hier ja den Vorteil (dank ausklammern), dass ich es auf anhieb erkennen kann wann die einzelnen werte null werden. mein vorgehen:

wird null für x=5

wird null für x=1 und

wird null für x=0


so und nun wurde aber ja gesagt: evtl. gibts das problem mit nenner und zähler gleiche nullstelle. und das problem kann ich auch über den definitionsbereich lösen:

hier würde ich sagen definitionsbereich

darauf komm ich, weil in der ursprünglichen funktion vorkommt und negative wurzeln nicht gehen. folglich muss also x immer größer oder gleich null sein damit die wurzel gelöst werden kann.

somit würd sich für die extremstellen ergeben, dass nur bei x=5 und x=1 extremstellen sind. richtige erklärung?


ps. so und wenn ich nun mit ausklammern bei hier stehengeblieben wäre, hätte ich die nullstellen eben bsp. über vieta gelöst. (das zeigt mir jetzt nur nochmal: es geht deutlich schneller ohne ausmultipl. bzw. wenn man alle werte direkt ausklammern kann - werds mir angewöhnen) Augenzwinkern
Mistmatz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
hier würde ich sagen definitionsbereich


Ja, das gilt für den Zähler, wenn du nun aber den ganzen Bruch betrachtest, siehst du, dass der Nenner bei Null wird. Also muss der Ausdruck lauten: oder besser:

Genauer betrachtet, ist der Bruch auch noch nicht ganz gekürzt:



Das du noch etwas kürzen kannst, erkennst du daran, dass an einer Stelle rauskommt.
Dann hat die Funktion an dieser Stelle eine sog. stetig behebbare Defintionslücke. Diese Stelle ist keine Unendlichkeitsstelle; der Funktionsgraph hat an dieser Stelle einfach ein Loch; der Punkt fehlt einfach.
Auch, wenn du die Lücke kürzen kannst, darfst du sie nicht mit in den Definitionsbereich nehmen, denn der bezieht sich ja immer auf die eigentliche Funktion und nicht auf irgendwelche gekürzten Darstellungen.
nachtfalke Auf diesen Beitrag antworten »

sorry da muss ich nochmal drauf zurückkommen, ob ich das richtig verstanden habe

1. definitionsbereich:

da geh ich doch von der "ursprünglichen" funktion aus, nicht der ableitung oder?

also von

und hier kann ich ja noch x=0 sehr wohl nehmen. daraus ergab sich mein definitonsbereich

richtig?

muss ich nun bei der betrachtung der extrempunkte wiederrum vom definitionsbereich der 1. ableitung ausgehen? (und nicht der funktion?)

dann würde sich für den Defintiosbereich für die erste Ableitung ergeben, dass x größer 0 sein muss. da sich ja, wie du mir bereits erklärt hast, für den Nenner bei X=0 Null ergibt (was ja nicht sein darf)

und daraus folgt: nach dem definitionsbereich der 1.ableitung ist bei X=1 und X=5 ein extremum. und X=0 ist ausgeschlossen und somit kein extrempunkt.
Mistmatz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
nach dem definitionsbereich der 1.ableitung ist bei X=1 und X=5 ein extremum. und X=0 ist ausgeschlossen und somit kein extrempunkt.


Genau.
Ich hab vergessen, dass die ursprüngliche Funktion ja an der Stelle 0 definiert war...
Is aber auch egal. Was du hier schön sehen kannst: Die Funktion existiert an der Stelle 0, die Ableitung aber nicht. Daraus folgt: Die Funktion ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar.
nachtfalke Auf diesen Beitrag antworten »

sorry für die späte antwort, mein pc hat sich verabschiedet!

also ich würd behaupten ich habs verstanden Augenzwinkern

danke für die Hilfe @mistmatz!!!!!
mtfcs Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Q-fLaDeN
Ja klar geht das alles viel schneller.

In der Rechnung von mtfcs heißt es ja:



So, im nächste Schritt hat er ausmultipliziert, und das ist der "Fehler".

Indem man (x-5) ausklammert, hat man das Ergebnis schon fast da stehen:




Zitat:
Original von nachtfalke
meine Gleichung:

noch durch fünf teilen:


Wenn man das durch 5 teilt, ändert sich aber nirgends das Vorzeichen, warum hast du das geändert?


Zitat:
Original von nachtfalke
Mitternacht liefert so:


und somit x1= -1 und x2=-5


Wie kommst du denn darauf, dass aus die beiden Ergebniss -1 und -5 hervorgehen?!



Sorry. War eine Zeitlang inaktiv, da ich ein paar Klausuren in der Uni schreiben musste.. Ich will auch nicht das Thema wieder ausbuddel, sondern nur ne kleine Stellungnahme abgeben.
Es mag vieleicht sein, dass das Polynom im Zähler überflüssig ist, aber mir fällt es dann leichter die Nullstellenform zu "sehen"....
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