Fixpunkt- Aufgabe und Satz

18.08.2009, 05:23

ge88

Fixpunkt- Aufgabe und Satz

Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R^2 \to \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} f(x,y) := \frac{1}{10} \left( x^3 + \frac{1}{5}, y^3 + y + 8 \right) \end{eqnarray*}$ ,
wobei der Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit der Supremumsnorm $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_{\infty} \end{eqnarray*}$ versehen ist.
Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hat im Quadrat $\begin{eqnarray*} [0,1] \times [0,1] \end{eqnarray*}$ genau einen Fixpunkt ( $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ).

Den Anfang vom Satz aus meinem Skript verstehe ich nicht ganz.
(Banachscher Fixpunktsatz):
Es sei die vektorwertige Funktion $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ definiert auf einer abgeschlossenen Umgebung des Punktes $\begin{eqnarray*} x_0 \in \mathbb R^n, B_r(x_0) = \{x | \|x - x_0 \| \leq r \} \end{eqnarray*}$ , mit Wertebereich im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .

Was sind eigentlich $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und r? Der Fixpunkt liegt dann in der r-Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ . Ich habe auch gelesen, dass die danach im Satz definierte Folge konvergiert gegen den Fixpunkt fuer jeden Startwert - ist also $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ beliebig? Gilt bei der konkreten Aufgabe $\begin{eqnarray*} x_0 \in [0,1] \times [0,1] \end{eqnarray*}$ ?

Ich versuche auch herauszufinden, ob f ueberhaupt kontrahierend ist. Dazu betrachte ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \| \left( x_1^3 - x_2^3, y_1^3 + y_1 - y_2^3 - y_2 \right) \| \leq L \cdot \| (x_1 - x_2, y_1 -y_2) \| \end{eqnarray*}$ .
Bin ich auf dem richtigen Weg?
Danke!

18.08.2009, 12:14

WebFritzi

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RE: Fixpunkt- Aufgabe und Satz

Zitat:

Original von ge88
Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R^2 \to \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} f(x,y) := \frac{1}{10} \left( x^3 + \frac{1}{5}, y^3 + y + 8 \right) \end{eqnarray*}$ ,
wobei der Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit der Supremumsnorm $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_{\infty} \end{eqnarray*}$ versehen ist.
Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hat im Quadrat $\begin{eqnarray*} [0,1] \times [0,1] \end{eqnarray*}$ genau einen Fixpunkt ( $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ).

Der Satz "wobei der Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit der Supremumsnorm $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_{\infty} \end{eqnarray*}$ versehen ist" hat hier nichts verloren, da er für die Aufgabe keine neue Information liefert. Ansonsten: Wenn du auf f den Banachschen Fixpunktsatz anwenden willst, musst du erstens zeigen, dass das Bild des angegebenen Quadrats unter f wieder im Quadrat liegt und dass f eine Kontraktion ist.

Zitat:

Original von ge88
Den Anfang vom Satz aus meinem Skript verstehe ich nicht ganz.
(Banachscher Fixpunktsatz):
Es sei die vektorwertige Funktion $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ definiert auf einer abgeschlossenen Umgebung des Punktes $\begin{eqnarray*} x_0 \in \mathbb R^n, B_r(x_0) = \{x | \|x - x_0 \| \leq r \} \end{eqnarray*}$ , mit Wertebereich im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .

Fängt so der Banachsche Fixpunktsatz in deinem Skript an? Schreibe ihn mal bitte in Gänze hier rein.

Zitat:

Original von ge88
Ich habe auch gelesen, dass die danach im Satz definierte Folge konvergiert gegen den Fixpunkt fuer jeden Startwert - ist also $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ beliebig? Gilt bei der konkreten Aufgabe $\begin{eqnarray*} x_0 \in [0,1] \times [0,1] \end{eqnarray*}$ ?

Ich kann nur sagen, dass im Satz keine Folge definiert wird, sondern im Beweis des Satzes. Und ja, der Startwert der Folge ist dabei beliebig.

Zitat:

Original von ge88
Ich versuche auch herauszufinden, ob f ueberhaupt kontrahierend ist. Dazu betrachte ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \| \left( x_1^3 - x_2^3, y_1^3 + y_1 - y_2^3 - y_2 \right) \| \leq L \cdot \| (x_1 - x_2, y_1 -y_2) \| \end{eqnarray*}$ .
Bin ich auf dem richtigen Weg?

Auf jeden Fall musst du genau diese Ungleichung beweisen mit einem L < 1. Aber was ist die Norm? Und wo liegen $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,y_1,y_2\,? \end{eqnarray*}$

Für die Abschätzung: Mach mal ne Polynomdivision:

$\begin{eqnarray*} a^3 - b^3 = (a - b)\cdot(\dots). \end{eqnarray*}$

Oder schau dir mal den Schrankensatz an, der manchmal auch Mittelwertsatz heißt.

18.08.2009, 19:39

ge88

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RE: Fixpunkt- Aufgabe und Satz

Zitat:

Original von WebFritzi
Fängt so der Banachsche Fixpunktsatz in deinem Skript an? Schreibe ihn mal bitte in Gänze hier rein.

Es sei die vektorwertige Funktion $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ definiert auf einer abgeschlossenen Umgebung des Punktes $\begin{eqnarray*} x_0 \in \mathbb R^n, B_r(x_0) = \{x | \|x - x_0 \| \leq r \} \end{eqnarray*}$ , mit Wertebereich im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ . Es sei $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ kontrahierend auf $\begin{eqnarray*} B_r(x_0) \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ bilde $\begin{eqnarray*} B_r(x_0) \end{eqnarray*}$ in sich ab, wofuer $\begin{eqnarray*} \| \phi(x_0) - x_0 \| \leq (1 - L) \cdot r \end{eqnarray*}$ hinreichend ist.
Dann gilt fuer die Folge $\begin{eqnarray*} \{x_k\}_{k=1}^{\infty} \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} x_{k+1} = \phi(x_k), \ k = 0, 1, \dots \end{eqnarray*}$
1) $\begin{eqnarray*} \{x_k\}_{k=1}^{\infty} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen den einzigen Fixpunkt $\begin{eqnarray*} \overline{x} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} B_r(x_0) \end{eqnarray*}$ .
2) $\begin{eqnarray*} \|x_k - \overline{x} \| \leq \frac{L}{1-L} \|x_k - x_{k-1} \| \leq \frac{L^k}{1-L} \|x_1 - x_0 \|, \ k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von WebFritzi
Auf jeden Fall musst du genau diese Ungleichung beweisen mit einem L < 1. Aber was ist die Norm? Und wo liegen $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,y_1,y_2\,? \end{eqnarray*}$

Nicht die Supremumsnorm?
Mit $\begin{eqnarray*} (x_1, y_1), (x_2, y_2) \in [0,1] \times [0,1] \end{eqnarray*}$ kann ich so abschaetzen :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \|(x_1^3 - x_2^3, y_1^3 + y_1 - y_2^3 - y_2) \| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{10} \| \left( (x_1 - x_2) (x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^3) , (y_1 - y_2) (y_1^2 + y_1 y_2 + y_2^2) + (y_1 - y_2) \right) \| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq \frac{1}{10} \| 3 (x_1 - x_2), 4(y_1 - y_2) \| \leq \frac{4}{10} \| (x_1 - x_2), (y_1 - y_2) \| \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

22.08.2009, 15:54

ge88

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RE: Fixpunkt- Aufgabe und Satz

Zitat:

Original von WebFritzi
schau dir mal den Schrankensatz an, der manchmal auch Mittelwertsatz heißt.

Das habe ich auch gemacht:

Fuer $\begin{eqnarray*} (x_1,y_1), (x_2,y_2) \in [0,1] \times [0,1] \end{eqnarray*}$ existiert $\begin{eqnarray*} (x_*,y_*) \in [0,1] \times [0,1] \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \| f(x_1, y_1) - f(x_2,y_2) \| = f'(x_*,y_*) \cdot \|(x_1,y_1) - (x_2,y_2) \| \end{eqnarray*}$

Die Jacobi-Matrix sieht so aus :

$\begin{eqnarray*} J_{f}(x_*,y_*) = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 3x_*^2 & 0 \\ 0 & 3y_*^2 + 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

deshalb gilt

$\begin{eqnarray*} \|f'(x_*,y_*)\| \leq \frac{1}{10} (3y_*^2 + 1) \underbrace{\leq}_{y_* \leq 1} \frac{4}{10} = \frac{2}{5} < 1 \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das?

Zitat:

Original von WebFritzi
Wenn du auf f den Banachschen Fixpunktsatz anwenden willst, musst du erstens zeigen, dass das Bild des angegebenen Quadrats unter f wieder im Quadrat liegt

Das muss ich noch zeigen. Ich weiss aber immer noch nicht wie r zu verstehen ist...
Ich habe eine Abschaetzung gemacht:
$\begin{eqnarray*} \|f(x,y)\| \leq \frac{1}{10} \left(1^3 + \frac{1}{5}, \ 1^3 + 1 + 8 \right) = \frac{1}{10} \left(\frac{6}{5}, 10 \right) = \left( \frac{3}{25}, 1 \right) \end{eqnarray*}$ .
Daraus folgt $\begin{eqnarray*} f( [0,1] \times [0,1] ) \subseteq [0,1] \times [0,1] \end{eqnarray*}$ .
Damit sind die Voraussetzungen des Satzes erfuellt und f hat im Quadrat $\begin{eqnarray*} [0,1] \times [0,1] \end{eqnarray*}$ genau einen Fixpunkt.
Darf ich das folgern?

23.08.2009, 13:38

WebFritzi

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RE: Fixpunkt- Aufgabe und Satz

Zitat:

Original von ge88
Das habe ich auch gemacht:

Fuer $\begin{eqnarray*} (x_1,y_1), (x_2,y_2) \in [0,1] \times [0,1] \end{eqnarray*}$ existiert $\begin{eqnarray*} (x_*,y_*) \in [0,1] \times [0,1] \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \| f(x_1, y_1) - f(x_2,y_2) \| = f'(x_*,y_*) \cdot \|(x_1,y_1) - (x_2,y_2) \| \end{eqnarray*}$

Die Jacobi-Matrix sieht so aus :

$\begin{eqnarray*} J_{f}(x_*,y_*) = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 3x_*^2 & 0 \\ 0 & 3y_*^2 + 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

deshalb gilt

$\begin{eqnarray*} \|f'(x_*,y_*)\| \leq \frac{1}{10} (3y_*^2 + 1) \underbrace{\leq}_{y_* \leq 1} \frac{4}{10} = \frac{2}{5} < 1 \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das?

Die Idee ist zumindest gut. Du schriebst

Zitat:

Original von ge88
$\begin{eqnarray*} \| f(x_1, y_1) - f(x_2,y_2) \| = f'(x_*,y_*) \cdot \|(x_1,y_1) - (x_2,y_2)\| \end{eqnarray*}$

Das ist natürlich Unsinn. Es muss so sein:

$\begin{eqnarray*} \|f(x_1, y_1) - f(x_2,y_2)\| = \max_{x,y\in [0,1]}\,\|f'(x,y)\|\cdot \|(x_1,y_1) - (x_2,y_2)\| \end{eqnarray*}$

Dabei ist f'(x,y) die Jacobimatrix in (x,y) und \|f'(x,y)\| die Matrixnorm, die durch die Maximumsnorm definiert wird. Das wäre die Zeilensummennorm (siehe Wikipedia). Somit ist

$\begin{eqnarray*} \|f'(x,y)\| = \frac 1 {10}\,\left\|\begin{pmatrix}3x^2 & 0\\0 & 3y^2+1\end{pmatrix}\right\| = \frac 1 {10}\,\max\{3x^2,3y^2+1\}. \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} 3x^2\le 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3y^2+1\le 4 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x,y\in [0,1] \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} \|f'(x,y)\| = \frac 1 {10}\,\max\{3x^2,3y^2+1\} \le \frac 1 {10}\,\max\{3,4\} = \frac 2 5. \end{eqnarray*}$

Also insgesamt:

$\begin{eqnarray*} \|f(x_1, y_1) - f(x_2,y_2)\| = \frac 2 5\,\cdot \|(x_1,y_1) - (x_2,y_2)\|. \end{eqnarray*}$

Damit ist f (eingeschränkt auf das Quadrat [0,1]x[0,1]) eine Kontraktion.

Zitat:

Original von ge88

Zitat:

Original von WebFritzi
Wenn du auf f den Banachschen Fixpunktsatz anwenden willst, musst du erstens zeigen, dass das Bild des angegebenen Quadrats unter f wieder im Quadrat liegt

Wieder die richtige Idee, und wieder falsch (bzw. unsinnig) aufgeschrieben:

Zitat:

Original von ge88
$\begin{eqnarray*} \|f(x,y)\| \leq \frac{1}{10} \left(1^3 + \frac{1}{5}, \ 1^3 + 1 + 8 \right) \end{eqnarray*}$

Das ist doch Quatsch. Links steht eine reelle Zahl und rechts ein Vektor. Das macht keinen Sinn! Achte mehr auf sowas. Schreibe es lieber so:

Für $\begin{eqnarray*} x,y\in [0,1] \end{eqnarray*}$ gelten:

$\begin{eqnarray*} 0 < \frac 1 {10}\left(x^3+\frac 1 5\right) \le \frac 1 {10}\left(1+\frac 1 5\right) = \frac 3 {25} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 0 < \frac 1 {10}\,(y^3 + y + 8) \le \frac 1 {10}\,(1 + 1 + 8) = 1. \end{eqnarray*}$

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} f(x,y)\in [0,1]\times [0,1] \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x,y)\in [0,1]\times [0,1]. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von ge88
Ich weiss aber immer noch nicht wie r zu verstehen ist...

Hier sind $\begin{eqnarray*} x_0 = \left(\frac 1 2,\frac 1 2\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r = \frac 1 2. \end{eqnarray*}$ Bezüglich der Maximumsnorm ist dann nämlich $\begin{eqnarray*} B_r(x_0) = [0,1]\times [0,1]. \end{eqnarray*}$

Übrigens ist der Satz, den ihr da habt, nur ein Spezialfall des Banachschen Fixpunktsatzes. Der gilt nämlich nicht nur für Kugeln im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ und ist auch an kein bestimmtes $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ gebunden. Er lautet so:

Sei $\begin{eqnarray*} f: X\to X \end{eqnarray*}$ eine Kontraktion auf einem vollständigen metrischen Raum X. Dann hat f genau einen Fixpunkt.

Zudem ist in deinem Satz mit keinem Wort gesagt, was L sein soll. Einfach nur schlecht! unglücklich

23.08.2009, 14:12

ge88

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RE: Fixpunkt- Aufgabe und Satz
Vielen Dank fuer die ausfuehrliche Antwort und sorry fuer den nonsense meinerseits...

Zitat:

Original von WebFritzi
Zudem ist in deinem Satz mit keinem Wort gesagt, was L sein soll. Einfach nur schlecht! unglücklich

Das liegt daran, dass die Definition fuer eine kontrahierende Abbildung genau ueber dem Satz steht und da ist L erklaert. Aber ja, mein Skript ist trotzdem schlecht - ich muss aber durch.

Nochmal danke!

23.08.2009, 14:22

WebFritzi

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RE: Fixpunkt- Aufgabe und Satz

Zitat:

Original von ge88

Zitat:

Original von WebFritzi
Zudem ist in deinem Satz mit keinem Wort gesagt, was L sein soll. Einfach nur schlecht! unglücklich

Das liegt daran, dass die Definition fuer eine kontrahierende Abbildung genau ueber dem Satz steht und da ist L erklaert.

Das hab ich mir schon gedacht. Aber ein Satz in einem Skript muss für sich alleine stehen können. Wer ein Skript schreibt, muss sowas IMHO wissen.

Viel Spaß dann damit. Augenzwinkern

Kleiner Tipp noch: Es ist immer gut, mehrere Quellen zu haben - auch, wenn das Skript zur Vorlesung gut ist. Besorg dir also zusätzlich noch ein Buch oder andere Skripten, die das gleiche Thema behandeln. Nur für den Fall, dass du das noch nicht gemacht hast.

23.08.2009, 14:26

ge88

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RE: Fixpunkt- Aufgabe und Satz
Danke fuer den Tipp smile

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