lokale und globale Extrema

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estrella2109 Auf diesen Beitrag antworten »
lokale und globale Extrema
Hallo,

komme bei der folgenden Aufgabe nicht vorwärts:


Sei D=, und sei
f : D-> , .

Bestimmen sie alle lokalen und globalen Extrema von f.

Irgendwie verstehe ich das mit der Nebenbedingung nicht. Habe auch nirgendwo ein Beispiel dazu gefunden.

Was müsste ich denn machen?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest zum Beispiel zuerst mal überhaupt die Lage von möglichen Extrema auf ganz bestimmen [Gradient Null setzen]. Hast du dann einen Punkt gefunden der ein Kandidat für ein Extrema ist, dann schaust du ob gilt oder nicht. Falls nicht vergiss den Punkt.
Falls doch, dann schau ob es ein Extrema ist oder nicht und gegebenfalls was für ein Extrema.
Dann musst du noch die Randbedingung überprüfen, das heisst wo hat die Funktion auf dem Rand den grössten Wert?
Dazu kannst du alles in Polarkoordinaten machen:
Für [also auf dem Rand von , was gerade der Einheitskreis ist] gilt und man kann es parametriesieren durch


Einsetzen und Extrema dort suchen.
estrella2109 Auf diesen Beitrag antworten »

ja, aber wenn ich damit loslege habe ich ja schon das problem mit den möglichen kandidaten für die extremwerte.
also für den gradienten brauch die 1. partiellen ableitungen. hier wären diese:
,
wenn ich nun setze, dann bekomme ich als Lösung .
So würde ich normalerweise vorgehen, da mich dies aber stutzig machte, dachte ich, dass es an der Randbedingung leigen muss und es einen anderen weg gibt. Wir hatten so etwas aber nie und in meinem skript gibt es so etwas gar nicht.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von estrella2109
wenn ich nun setze, dann bekomme ich als Lösung .


Das ist richtig. Gibt es also lokale Extrema im Innern des Einheitskreises?

@system-agent: Die Einzahl ist "Extremum".
estrella2109 Auf diesen Beitrag antworten »

ja, da für 0 die Bedingung erfüllt ist?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Was sind also die lokalen Extrema im Innern des Einheitskreises?

Und wenn du antwortest, formuliere die Antwort auch bitte als Antwort und nicht als Frage.
 
 
estrella2109 Auf diesen Beitrag antworten »

naja, (0,0) und (0,0)
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Hä? Wieso gibst du zweimal den gleichen Punkt an?
Gaußsche Zahl Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Hä? Wieso gibst du zweimal den gleichen Punkt an?


wahrscheinlich weil in jeder Vektorkoordinate jeweils x und y stehen. Daraus folgert man manchmal irrtümlich, dass es den Punkt zweimal gibt.
estrella2109 Auf diesen Beitrag antworten »

ja, so dachte ich es mir...aber, dann nur einmal (0,0) smile
und wie finde ich nun heraus ob es ein globales extremum ist? kann man so argumentieren, dass es das einzige ist?
kommt mir irgendwie alles komisch vor, wäre irgendwie zu leicht, wenn das schon die Lösung sein sollte verwirrt
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von estrella2109
und wie finde ich nun heraus ob es ein globales extremum ist? kann man so argumentieren, dass es das einzige ist?


Das kannst du tun, wenn du die Funktion auf ganz betrachten solltest.
Nun suche nach einem Randextremum, wie ich es dir von Anfang an geraten habe.
estrella2109 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, nun muss ich also und
setzen und noch einmal auf Extrema überprüfen?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wobei natürlich gilt.
estrella2109 Auf diesen Beitrag antworten »

irgendwie bekomm ich es nicht so richtig hin, könntest du mir den weg etwas skizzieren? das wäre lieb. hänge da irgendwie...wenn ich und setze, dann habe ich ja zweimal die gleiche variable?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Das war ja auch der Sinn der Substitution smile
Dann kannst du nämlich die Funktion
definiert durch
betrachten und diese durch eine einfache Kurvendiskussion untersuchen.

Die Idee war den Rand von , welcher der Einheitskreis ist, möglichst einfach zu parametrisieren. Da bei der Polarkoordinatendarstellung jeder Punkt vom Einheitskreis den Radius hat, bekommt man die obige Parametrisierung die nur noch von einem Einzigen Parameter abhängt.
Findest du also ein Extremum für ein , dann liegt das Extremum in bei den [Polar-]Koordinaten und daher bei den [Kartesischen-]Koordinaten
.
estrella2109 Auf diesen Beitrag antworten »

okay:-)
einfach Kurvendiskussion klingt ja nett, aber ich werd esl versuchen
depp Auf diesen Beitrag antworten »
uhuh
Lagrange multiplikation musst du anwenden dh. dein f(x)+ lambda(x^2+y^2-1)
dann jeweils nach x y und lamda ableiten und gleich null setzen..

je nach dem Ableitung nach x schaust du wann die Gleichung erfüllt ist..
sagen wir mal für x=0 ist die Gleichung erfüllt dann setzt du dein x in die Gleichung mit der Ableitung von lambda ein und erhälst ein y wert....
genauso machst du das mit y findest ein y welches die Gleichung löst... usw.
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