Topologie: Unterschied Grassman-Mannigfaltigkeit und Projektiver Raum

18.08.2009, 12:53	Thorvga	Auf diesen Beitrag antworten »
Topologie: Unterschied Grassman-Mannigfaltigkeit und Projektiver Raum Ich dachte ich frage mal hier, da es scheinbar auch kompetente Leute gibt, was der Unterschied zwischen dem Projektiven Raum $\begin{eqnarray} \mathbb R P^{n-1} \end{eqnarray}$ und der Grassman-Mannigfaltigkeit $\begin{eqnarray} G_1(\mathbb R^n) \end{eqnarray}$ ist. Per Definition ist $\begin{eqnarray} \mathbb R P^{n-1} \end{eqnarray}$ eine Quotiententopologie auf R^n\{0} mit der Äquivalenzrelation x ~ y <=> Es ex. c reelle Zahl so dass y = cx Das würde heißen, die Elemente einer Äquivalenzklasse befinden sich auf dem selben eindimensionalem Unterraum. $\begin{eqnarray} G_1(\mathbb R^n) \end{eqnarray}$ ist die Menge aller 1-dim. Unterräume des R^n Meine Idee war gewesen, dass der Unterschied darin besteht, dass in $\begin{eqnarray} \mathbb R P^{n-1} \end{eqnarray}$ die Elemente Äquivalenzklassen sind und in $\begin{eqnarray} G_1(\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$ die Elemente Unterräume, also Mengen mit einer Struktur, sind. Ist das denn alles?
19.08.2009, 17:53	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
In diesem Fall gibt es keinen Unterschied. Es gibt aber noch andere Grassmann-Mannigfaltigkeiten $\begin{eqnarray} G_k(\mathbb R^n) \end{eqnarray}$ und diese sind eine Verallgemeinerung der projektiven Räume. Die Elemente sind nicht verschieden. Die Äquivalenzklassen der projektiven Räume sind im Prinzip auch die eindimensionalen Unterräume (Geraden) des $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ , wobei der Nullpunkt rausgenommen ist. Die Definition der Topologie auf der Grassmann-Mannigfaltigkeit ist, so wie ich sie kenne, die gleiche wie die für die projektiven Räume. Könntest du bitte die dir bekannte Definition angeben?

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