Topologie: Inklusionsabbilung+Rektrakt

18.08.2009, 13:08

Thorvga

Topologie: Inklusionsabbilung+Rektrakt

Ich bin mir etwas unsicher mit der Inklusionsabbildung, die wir häufig benutzen.

Zum Beispiel:

Sei A Teilmenge von einem topologischen Raum X und i von A nach X die Inklusionsabbildung.

Bedeutet das, dass i(a) = a für alle a aus A ?

Und zum Rektrakt bin ich auch etwas unsicher, denn es heißt, dass zu jedem topologischen Raum der einpunktige Raum (den Punkt natürlich aus dem Raum) ein Rektrakt ist, aber genau dann ein Deformationsrektrakt, wenn der Raum zusammenziehbar ist.

Für den Rektrakt haben wir nur gefordert, dass es eine stetige Rektration r von X nach A existiert, so dass i*r , die Hintereinanderausführung gleich der Identität auf A ist (X, A, i wie oben).
Aber irgendwie assoziiere ich das immer mit dem Deformationsrektrakt...

{1} wäre ein Retrakt von S^1, aber kein Deformationsrektrakt. Dass es kein Deformationsretrakt sein kann, ist mir klar, weil es irgendwo "auseinanderreißen" würde beim Deformieren. Aber warum ist es trotzdem ein Retrakt?

18.08.2009, 13:30

WebFritzi

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RE: Topologie: Inklusionsabbilung+Rektrakt

Zitat:

Original von Thorvga
Sei A Teilmenge von einem topologischen Raum X und i von A nach X die Inklusionsabbildung.

Bedeutet das, dass i(a) = a für alle a aus A ?

Ja.

18.08.2009, 20:22

Thorvga

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ok danke, aber könnte mir vielleicht jemand nochmal den Unterschied zwischen Retrakt und Deformationsretrakt an einem Beispiel klar machen?
Es ist klar, dass Deformationsretrakt impliziert Retrakt (da Deformationsretrakt eine Voraussetzung mehr hat).
Und ich habe auch ein Beispiel, dass S^1 kein Retrakt von der Kreisscheibe ist.
Das ist ja auch noch klar, dass man wegen der Stetigkeit Probleme hat.
Aber was wäre ein Beispiel für einen Retrakt, aber keinen Deformationsretrakt und warum?
Irgendwie kann ich nicht ganz fassen, was diese zusätzliche Forderung beim Deformationsrektrakt genau bewirkt.

19.08.2009, 17:46

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Thorvga
Für den Rektrakt haben wir nur gefordert, dass es eine stetige Rektration r von X nach A existiert, so dass i*r , die Hintereinanderausführung gleich der Identität auf A ist (X, A, i wie oben).

Mittlerweile ist für diese Hintereinanderausführung die Reihenfolge $\begin{eqnarray*} r\circ i \end{eqnarray*}$ üblich. Gemeint sein sollte jedenfalls die Abbildung von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} r(a) \end{eqnarray*}$ schickt, was man auch schreiben kann als die Abbildung $\begin{eqnarray*} r|_A \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Thorvga
Aber was wäre ein Beispiel für einen Retrakt, aber keinen Deformationsretrakt und warum?

Du hast schon selbst eines genannt: Die Abbildung $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} S^1 \end{eqnarray*}$ auf einen Punkt $\begin{eqnarray*} x_0\in S^1 \end{eqnarray*}$ ist ein Retrakt. Wäre es ein Deformationsretrakt, dann müsste die Identität der $\begin{eqnarray*} S^1 \end{eqnarray*}$ homotop zu $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ sein, wobei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bei der Homotopie fest gelassen werden soll. Das würde dir eine Homotopie des Kreises auf einen Punkt geben und das geht nicht, weil die $\begin{eqnarray*} S^1 \end{eqnarray*}$ nicht einfach-zusammenhängend ist.

Die zusätzliche Forderung beim Deformationsretrakt bewirkt, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ homotopieäquivalent sind, falls $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein Deformationsretrakt von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist, d.h. $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ haben z.B. isomorphe Fundamentalgruppen sowie Homotopie- und Homologiegruppen. (Falls dir das noch nichts sagt, ignorier es einfach.) Der Isomorphismus wird dabei jeweils durch die Inklusion $\begin{eqnarray*} i:A\hookrightarrow X \end{eqnarray*}$ induziert.

Falls $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ aber nur ein Retrakt von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist, dann induziert die Inklusion keine Isomorphismen auf den Homotopie- und Homologiegruppen, sondern nur injektive Homomorphismen. Z.B. ist die von der Inklusion im obigen Beispiel induzierte Abbildung $\begin{eqnarray*} i_*:\pi_1(\{x_0\},x_0)\to\pi_1(S^1,x_0) \end{eqnarray*}$ injektiv, was natürlich schon deshalb sein muss, weil die erste Fundamentalgruppe trivial ist.

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