Gaußsches Diagonalverfahren anwenden...Bitte um Hilfe ! :)

18.08.2009, 17:26	PeterFrank	Auf diesen Beitrag antworten »
Gaußsches Diagonalverfahren anwenden...Bitte um Hilfe ! :) Haaalloo, wir wenden in Mathe grade Lineare Gleichungssysteme an...Hausaufgabe ist eine Gleichung mit dem Gaussches Diagonalverfahren zu lösen, aber ich scheitere hoffnungslos Könnte mir vielleicht jemand weiterhelfen ? x1-x2+2(x3)=-3 2(x1)+2(x2)-3(x3)=-15 -3(x1)+4(x2)+5(x3) =3 Über Hilfe wäre ich sehr dankbar. Frank
18.08.2009, 20:04	mtfcs	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi. Also das Diagonalverfahren kenn ich nicht, mir ist aber bekannt, das man ein LGS mit Hilfe des Gauß'schen Algorithmus in eine Dreiecksgestallt der Form: $\begin{eqnarray} \mathrm{I} \; \; \; a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + a_{13} x_3 = a_{1} <br /> \mathrm{ II } \quad \quad \quad \quad \; \; \; \;b_{22} x_{2} + b_{23} x_{3} = b_{2} <br /> \mathrm {III} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \; \; \; \; c_{33} x_{3} = c_{3} \end{eqnarray}$ bringen kann. Ich nehme an, dass du das meinst. Ausgangspunkt ist ein inhomogenes LGS der Form: $\begin{eqnarray} \mathrm{I} \; \; a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + a_{13} x_3 = a_{1} <br /> \mathrm{II} \; \; a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + a_{23} x_{3} = a_{2} <br /> \mathrm {III} \; \; a_{31} x_{1} + a_{32} x_{2} + a_{33} x_{3} = a_{3} \end{eqnarray}$ Ziel des Gauß'schen Algorithmus ist es nun die oben dargestellte Dreiecksform durch äquivalente Umformungen zu erreichen. Dies Lässt sich in 2 Schritten erreichen: 1. Schritt: $\begin{eqnarray} \mathrm {I} \end{eqnarray}$ unverändert lassen, von $\begin{eqnarray} \mathrm {II} \end{eqnarray}$ das $\begin{eqnarray} \frac{a_{21}}{a_{11}} \end{eqnarray}$ fache von $\begin{eqnarray} \mathrm {I} \end{eqnarray}$ und von $\begin{eqnarray} \mathrm {III} \end{eqnarray}$ das $\begin{eqnarray} \frac{a_{31}}{a_{11}} \end{eqnarray}$ fache von $\begin{eqnarray} \mathrm {I} \end{eqnarray}$ abziehen. Dann ist $\begin{eqnarray} \mathrm {II'} = \mathrm {II} - \frac {a_{21}}{a_{11}} \cdot \mathrm {I} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathrm {III'} = \mathrm {III} - \frac {a_{31}}{a_{11}} \cdot \mathrm {I} \end{eqnarray}$ Wir haben dann also die Form: $\begin{eqnarray} \mathrm{I} \; \; \; a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + a_{13} x_3 = a_{1} <br /> \mathrm{ II' } \quad \quad \quad \quad \; \; \; \;b_{22} x_{2} + b_{23} x_{3} = b_{2} <br /> \mathrm {III'} \quad \quad \quad \quad \; \; \; \; b_{32} x_{2}+b_{33} x_{3} = b_{3} \end{eqnarray}$ 2. Schritt: $\begin{eqnarray} \mathrm {II'} \end{eqnarray}$ unverändert lassen, von $\begin{eqnarray} \mathrm {III'} \end{eqnarray}$ das $\begin{eqnarray} \frac{b_{32}}{b_{22}} \end{eqnarray}$ fache von $\begin{eqnarray} \mathrm {II'} \end{eqnarray}$ abziehen. Dann ist $\begin{eqnarray} \mathrm {III''} = \mathrm {III'} - \frac {b_{32}}{b_{22}} \cdot \mathrm {II'} \end{eqnarray}$ Und wir haben die gesuchte Dreiecksform $\begin{eqnarray} \mathrm{I} \; \; \; a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + a_{13} x_3 = a_{1} <br /> \mathrm{ II'} \quad \quad \quad \quad \; \; \; \;b_{22} x_{2} + b_{23} x_{3} = b_{2} <br /> \mathrm {III''} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \; \; \; \; c_{33} x_{3} = c_{3} \end{eqnarray}$ erreicht. Du kannst nun nacheinander die einzelnen Unbekannten $\begin{eqnarray} x_{1}, x_{2} , x_{3} \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} \mathrm{I}, \mathrm {II'} , \mathrm {III''} \end{eqnarray}$ berechnen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »