Linearität, Basis Kern & Bild

18.08.2009, 18:39

estrella2109

Linearität, Basis Kern & Bild

So, ich noch einmal...
habe eben eine Aufgabe gerechnet und wollte mal fragen, ob dies so richtig ist.
Zuerst die Aufgabenstellung:

Sei $\begin{eqnarray*} V=\mathbb R ^{2x2} \end{eqnarray*}$ der Vektorraum aller reellen 2x2-Matrizen, und sei $\begin{eqnarray*} M=\begin{pmatrix} 0 & 1 & \\0 & 1\end{pmatrix} \in V \end{eqnarray*}$ .
Die Abbildung $\begin{eqnarray*} f:V->V \end{eqnarray*}$ sei für alle $\begin{eqnarray*} X\in V \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} f(x)=M\cdot X\cdot M \end{eqnarray*}$ definiert.
a) Zeigen Sie, dass f linear ist.
b) Geben Sie je eine Basis von Kern(f) und Bild(f) an.
c) Ergänzen Sie eine Basis von Kern(f) zu einer Basis von V.

zu a)
Zunächst ist meine Matrix $\begin{eqnarray*} X=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , also ganz allgemein gehalten, da ich diese nicht kenne.
Additivität und Homogenität muss gelten, habe ich auch durchgerechnet, ist recht viel das hier aufzuschreiben, aber ich bin so vorgegangen:
$\begin{eqnarray*} f(k\cdot x)=k\cdot f(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M\cdot k\cdot X\cdot M \end{eqnarray*}$ erst k in Matrix multipliziert, diese MAtrix mit der rechten M multipliziert und die Ergebnismatrix mit der linken M multipliziert. Das ergab $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & kc+kd \\ 0 & kc+kd \\ \end{pmatrix} = k\cdot\begin{pmatrix} 0 & c+d \\ 0 & c+d \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dann $\begin{eqnarray*} k\cdot M\cdot X\cdot M \end{eqnarray*}$ , also X mit rechter Matrix M multipliziert, diese Ergebnismatrix mit der linken Matrix M multipliziert und ich erhielt $\begin{eqnarray*} k\cdot\begin{pmatrix} 0 & c+d \\ 0 & c+d \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Ist ja das gleiche, also Homogenität erfüllt.
Bei der Additivität bin ich so vorgegangen, ich habe gezigt, dass $\begin{eqnarray*} M\cdot (X+Y)\cdot M=M\cdot X\cdot M + M\cdot Y\cdot M \end{eqnarray*}$ ist. Dies klappte auch.

zu b)
$\begin{eqnarray*} f=M\cdot X\cdot M =\begin{pmatrix} 0 & c+d \\ 0 & c+d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für meine Matrix $\begin{eqnarray*} X=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Kern(f) ist ja $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & c+d \\ 0 & c+d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ich erhalte: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} c & d & 0\\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , wähle y=t und erhalte somit $\begin{eqnarray*} Ker(f)= \left\{ \begin{pmatrix} -\frac{d\cdot t}{c} \\ t\end{pmatrix} \right\} =\left\{ t\cdot\begin{pmatrix} -\frac{d}{c} \\ 1\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$
Dies ist auch gleich Basis des Kerns.
Für das Bild erhalte ich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0\\ c+d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , auch als Basis.

zu c)
durch den lin. uabhängigen Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} c+d\\ c+d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ergänze ich die Basis des Kerns $\begin{eqnarray*} \left\{ t\cdot\begin{pmatrix} -\frac{d}{c} \\ 1\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ zu einer Basis von V, da dies dann eine maximale Menge lin. unabh. Vektoren ist.

Jetzt wäre meine Frage, ob das alles so okay ist? Wäre lieb, wenn ihr mal drüber schauen könntet. smile

18.08.2009, 19:39

system-agent

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(b) und (c) sind nicht OK.

Zu (b):
Um den Kern zu bestimmen musst du alle Vektoren finden, die von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf den Nullvektor geschickt werden. Soweit die Definition.
In $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ sind deine Vektoren aber Matrizen. Der Nullvektor ist in dem Fall die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Du musst also
$\begin{eqnarray*} f(X)=0 \end{eqnarray*}$ lösen, das heisst $\begin{eqnarray*} M\cdot X\cdot M=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Ich habe es nicht nachgerechnet, aber laut deinem Ergebnis ist
$\begin{eqnarray*} f(X)=\begin{pmatrix}0 & c+d \\ 0 &c+d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun finde diejenigen $\begin{eqnarray*} X=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0 & c+d \\ 0 &c+d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 &0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was muss also für die Koeffizienten der Matrix $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gelten damit $\begin{eqnarray*} f(X)=0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} X\in\ker(f) \end{eqnarray*}$ ?

18.08.2009, 20:58

estrella2109

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oh natürlich, werde es gleich noch einmal durchrechnen, danke erst einmal, melde mich dann noch einmal

18.08.2009, 21:11

estrella2109

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hm, eigentlich brauch ich es gar nicht durchrechnen..damit die Nullmatrix rauskommt muss die Einträge der unteren Zeilen Nullen sein, die Einträge der oberen sind ja egal, da ich schon in der ersten Spalte von f(x) NUllen habe...
Also würde der Kern durch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} r & s \\ 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dargestellt, wober r,s beliebig sein können.
Ist das so richtig?
Wie gehe ich aber jetzt beim Bild vor?

19.08.2009, 01:30

system-agent

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Zitat:

Original von estrella2109

Also würde der Kern durch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} r & s \\ 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dargestellt, wober r,s beliebig sein können.
Ist das so richtig?

Das ist natürlich Quatsch, denn der Kern ist keine Matrix, sondern eine Menge von Matrizen.

Ersteinmal intuitiv: Wir können die beiden oberen Einträge von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ frei wählen, macht schonmal 2 Freiheitsgrade. Zusätzlich können wir einen der beiden unteren Matrixeinträge frei wählen. Der andere ist durch die Wahl dann eindeutig bestimmt, macht noch einen Freiheitsgrad. Also wird der Kern dreidimensional sein.

Eine typische Matrix aus dem Kern sieht also aus wie folgt:
$\begin{eqnarray*} K=\begin{pmatrix}k_1 & k_2 \\ k_3 & -k_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k_1,k_2,k_3\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Nun bestimme eine Basis des Kerns.

Hinweis: Eine Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ bilden die vier Matrizen
$\begin{eqnarray*} e_1:=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_2:=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_3:=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_4:=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

19.08.2009, 08:00

estrella2109

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okay, ich hätte aus der einen Matrix auch zwei machen können, habe mich da nicht richtig ausgedrückt...
$\begin{eqnarray*} Ker(f)=\left\{ \begin{pmatrix} r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & s \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$
Dadurch erreiche ich ja eigentlich schon alle die auf die Nullmatrix abgebildet werden.
So, dies scheint aber nicht maximal zu sein, demnach:
$\begin{eqnarray*} Ker(f)=\left\{ \begin{pmatrix} r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & s \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ t & -t \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$
Das könnte ich wiederum doch auch eigentlich so schreiben:
$\begin{eqnarray*} Ker(f)=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$
Da habe ich allerdings das Problem, dass ich mich doch im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$ befinde, wie kann die Basis des Kerns dann so aussehen, also dreidimensional sein?

19.08.2009, 08:34

system-agent

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Du musst bischen mit der formalen Schreibweise aufpassen, denn der Kern kann einerseits nicht gleichzeitg drei unterschiedliche Mengen sein und andererseits besteht er nicht nur aus den drei angegebenen Matrizen.

Nun zeige, dass der Kern auch tatsächlich von den drei Matrizen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
aufgespannt wird.

Zeige dazu, dass du damit jede Matrix aus dem Kern "zusammenbauen" kannst [was du im Prinzip schon gemacht hast, nur nochmal formal hinschreiben].
Zeige weiter, dass die drei Matrizen linear unabhängig sind [was du eigentlich auch schon gemacht hast Augenzwinkern

].
Dazu:
Seien $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} \lambda_1\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+\lambda_3\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Schliesse dann, dass in dem Fall automatisch $\begin{eqnarray*} \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$ gelten muss, damit die obige Gleichung gilt.

Zitat:

Da habe ich allerdings das Problem, dass ich mich doch im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$ befinde, wie kann die Basis des Kerns dann so aussehen, also dreidimensional sein?

Lies mal genau, du hast $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2\times2} \end{eqnarray*}$ geschrieben, das bedeutet du betrachtest den Raum der reellen $\begin{eqnarray*} 2\times2 \end{eqnarray*}$ Matrizen.
Du hast doch sicher schon mal in einer Übung nachgerechnet, dass meine 4 obigen Matrizen $\begin{eqnarray*} e_1,...,e_4 \end{eqnarray*}$ eine Basis dieses Vektorraums sind.
Damit ist also $\begin{eqnarray*} \dim(\mathbb R^{2\times2})=4 \end{eqnarray*}$ , das heisst $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2\times2} \end{eqnarray*}$ "sieht" so aus wie der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ [das heisst es gibt einen Isomorphismus].

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