Gauß-Krümmung ist nicht-positiv

18.08.2009, 19:08	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Gauß-Krümmung ist nicht-positiv Hi! Ich habe folgende Aufgabe, bei der mir letztendlich nur noch der entscheidende Schluss fehlt: Eine Fläche $\begin{eqnarray} f: (0,1) \times (0,1)\rightarrow \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ heißt Regelfläche, wenn es ein Vektorfeld $\begin{eqnarray} V(t),~t\in(0,1) \end{eqnarray}$ längs einer Kurve $\begin{eqnarray} c(t),~t\in(0,1) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} V(t)\neq 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} t\in(0,1) \end{eqnarray}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray} f(s,t)=c(t)+sV(t) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} s,t\in(0,1) \end{eqnarray}$ gilt. Zeigen Sie, dass für die Gaußsche Krümmung K gilt: $\begin{eqnarray} K(s,t)\leq 0,~\forall~s,t \end{eqnarray}$ . Nun ja, ich bestimme erstmal die erste und zweite Fundamentalform: $\begin{eqnarray} f_s=V(t)<br /> f_t=c'(t)+sV'(t)<br /> f_{ss}=0<br /> f_{st}=f_{ts}=V'(t)<br /> f_{tt}=c''(t)+sV''(t) \end{eqnarray}$ Das Einheitsnormalenfeld ist gegeben durch $\begin{eqnarray} n=\frac{f_s\times f_t}{\|\|f_s\times f_t\|\|} \end{eqnarray}$ . Dann gilt für die Koeffizienten der ersten Fundamentalform: $\begin{eqnarray} g_{11}=<V(t),V(t)>,~g_{12}=g_{21}=<V(t),c'(t)+sV'(t)>,~g_{22}=<c'(t)+sV'(t),c'(t)+sV'(t)> \end{eqnarray}$ Für die zweite FF ist $\begin{eqnarray} h_{11}=0,~h_{12}=h_{21}=<V'(t),n>,~h_{22}=<c'',n>+s<v'',n> \end{eqnarray}$ Die Gaußsche Krümmung bestimmt sich nun zu $\begin{eqnarray} K=\frac{\det h_{ij}}{\det g_{ij}}=\frac{-<V'(t),n>^2}{\det g_{ij}} \end{eqnarray}$ Der Zähler ist schon mal kleiner oder gleich Null, da $\begin{eqnarray} <V'(t),n>^2 \end{eqnarray}$ stets positiv ist. Was gilt aber nun für den Nenner? So offensichtlich ist das ja nicht, dass dieser stets größer Null ist, oder??? Oder kann man sogar stets annehmen, dass die Determinante immer größer als Null ist? Gibt es dazu einen entsprechenden Satz. Ich meine mich zu erinnern, dass mein Prof gesagt hat, dass es ausreicht die zweite Fundamentalform zu betrachten. Danke für eure Hinweise!

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