Welche Kurven sind Geodätische?

18.08.2009, 19:16	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Kurven sind Geodätische? Hi! Ich habe mal wieder ein Problem mit dem Rotatiostorus: $\begin{eqnarray} f(u,v)=((2+\cos u)\cos v,(2+\cos u)\sin v,\sin u) \end{eqnarray}$ Wir sollten nur die Kurven $\begin{eqnarray} c_1,c_2,c_3 \end{eqnarray}$ skizzieren, die durch $\begin{eqnarray} u=0,u=\pi/2,v=0 \end{eqnarray}$ gegeben sind. Damit erhält man $\begin{eqnarray} c_1=(3\cos v,3\sin v,0)<br /> c_2=(2\cos v,2\sin v,1)<br /> c_3=(2+\cos u,0,\sin u) \end{eqnarray}$ Zeichnen kein Problem. Jetzt sollen wir begründen, welche der Kurven Geodätische sind. Nun soll es wohl einen Satz geben, mit dem man das ganz schnell nachrechnen kann: Eine nach der Bogenlänge parametrisierte Kurve c ist Geodätische auf f=f(u,v), wenn ihre 2. Ableitung c'' überall senkrecht zur Fläche steht. Erstmal die Frage: Ist die Forderung, dass die Kurve nach der Bogenlänge parametrisiert sein muss wesentlich? Den Satz hatten wir leider nicht in der Vorlesung, wie kann man sich das bidlich vorstellen bzw. herleiten, dass das so sein muss??? Und dann die interessantere Frage: Wie geht man konkret bei dieser Aufgabe vor? Einfach die zweite Ableitung der jeweiligen Kurven bestimmen und dann den Normalenvektor von f bestimmen? Und dann prüfen, ob die zweite Ableitung senkrecht zur Fläche ist, d.h. parallel zum Normalenvektor? Danke für die Entwirrung
23.08.2009, 15:51	Raumpfleger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Kurven sind Geodätische? In der elementaren Differentialgeometrie ist eine Geodäte ein Weg auf einer Fläche, bei dem überall die Hauptnormale mit der Flächennormale zusammenfällt. Diese Bedingung ist genau dann erfüllt, wenn in jedem Punkt die geodätische Krümmung gleich 0 ist.

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