Gebrochenrationale Funktionen, Kurvendiskussion etc.

Gebrochenrationale Funktionen, Kurvendiskussion etc.

Hallo

ich bräuchte mal Eure Hilfe.

Unzwar geht es um eine Hausaufgabe die ich gerne mal hinbekommen würde.

Wir haben eine Funktion bekommen:

f(x)= (4x^3-16x)/(x^4+2x^3)

wir sollen:

a) Definitionsbereich bestimmen und die Art der Definitionslücken

b) Ersatzfunktion bestimmen

c) Extrempunkte bestimmen

d) Wendepunkte bestimmen

Ich habe rausbekommen:

a) Df: R* / {-2} 0 und -2 sind hebbare Lücken.

ich gehe mal davon aus, dass das richtig ist!?

b) ich habe erstmal die Liniearfaktordarstellung bestimmt:

f(x)=(4x(x-2))/(x(x+2))

=(4x^2-8x)/(x(x+2))

=(x(4x-8))/(x(x+2)) (dann habe ich x also gekürzt und für die Ersatzfunktion kommt raus smile

=(4x-8)/(x+2)

Ist das richtig?

c)

habe ich raus bekommen für die erste Ableitung:

f '(x)= (- 4x^6+48x^4+64x^3)/(x^4+2x^3)^2

das is natürlich die zusammengefasste Version... ist das bis dahin denn richtig?

(zweite Ableitung lassen wir erstmal aussen vor, die habe ich nämlich nicht zusammengefasst und nunja...lang halt)

also weiter:

f '(x)= (- 4x^6+48x^4+64x^3)/(x^4+2x^3)^2 = 0

(- 4x^6+48x^4+64x^3) = 0

x^3(- 4x^3+48x+64) dann hätte ich x1=0

geht das? weil 0 ja ne Definitionslücke is?

Und nun weiter? Polynomdivision? Ist das so überhaupt richtig?

Bin gerade etwas in den Weiten der Mathematik verloren und wäre dankbar wenn mir jemand sagt ob ich überhaupt auf dem richtigen Weg bin weil sonst bräuchte ich ja nicht so weiter zu machen. verwirrt

Danke schonmal!!!

RE: Gebrochenrationale Funktionen, Kurvendiskussion etc.
Also:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{4x^3-16x}{x^4+2x^3}=\frac{4x(x^2-4)}{x^{3}(x+2)}=\frac{4x(x-2)(x+2)}{x^{3}(x+2)} \end{eqnarray*}$

Zitat:

a) Df: R* / {-2} 0 und -2 sind hebbare Lücken. ich gehe mal davon aus, dass das richtig ist!?

Lass auch behebbare Definitionslücken aus der Definitionsmenge heraus, denn in die eigentliche, gegebene Funktion, darfst du die Werte ja nicht einsetzen, sondern erst in die gekürzte Ersatzfunktion.

Zitat:

b) ich habe erstmal die Liniearfaktordarstellung bestimmt: f(x)=(4x(x-2))/(x(x+2))

???
Du hast sowohl im Zähler als auch im Nenner die Potenzen falsch. Siehe meine Gleichung oben, Schritt 2

Zitat:

=(4x-8)/(x+2)
Ist das richtig?

Gekürzt sieht (meine) Funktion folgendermaßen aus: $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{4x-8}{x^2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

habe ich raus bekommen für die erste Ableitung: f '(x)= (- 4x^6+48x^4+64x^3)/(x^4+2x^3)^2

Die Ableitung ist richtig. lässt sich aber gewaltig vereinfachen (kleiner Tipp: Ist der Nenner von größerem Grad als 1, also hoch 2, hoch 3, etc. dann multiplizier ihn im Zähler nicht aus, sondern lass die Klammern stehen und kürz ihn hinterher weg (ich gehe davon aus, du differenzierst mittels NAZ - ZAN))

Zitat:

x^3(- 4x^3+48x+64) dann hätte ich x1=0
geht das? weil 0 ja ne Definitionslücke is?

Nein, 0 ist in diesem Fall kein Extrema. Wenn du die Ableitung so vereinfachst, wie ich weiter oben erwähnt hab, fällt der Faktor x sogar raus, sprich du kommst gar nich auf die 0 als Nullstelle der 1. Ableitung.

Zitat:

Und nun weiter? Polynomdivision?

In diesem Fall, kannst du vereinfachen und dir so eine Polynomdivision sparen. Aber sonst, müsstest du dich jetzt an den Faktor - 4x^3+48x+64 = 0 machen. Also Nullstelle raten und Polynomdivision.

Und zum Schluss, um dich bei Laune zu halten, hier die 2. Ableitung: $\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{8x-48}{x^4} \end{eqnarray*}$ . (Wenn du partout nicht auf die 1. kommst, kannst du die hier ja integrieren smile

)

RE: Gebrochenrationale Funktionen, Kurvendiskussion etc.
Hey Mistmatz,

danke für Deine Hilfe!

Zitat:

Original von Mistmatz
Also:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{4x^3-16x}{x^4+2x^3}=\frac{4x(x^2-4)}{x^{3}(x+2)}=\frac{4x(x-2)(x+2)}{x^{3}(x+2)} \end{eqnarray*}$

Zitat:

a) Df: R* / {-2} 0 und -2 sind hebbare Lücken. ich gehe mal davon aus, dass das richtig ist!?

Lass auch behebbare Definitionslücken aus der Definitionsmenge heraus, denn in die eigentliche, gegebene Funktion, darfst du die Werte ja nicht einsetzen, sondern erst in die gekürzte Ersatzfunktion.

Zitat:

b) ich habe erstmal die Liniearfaktordarstellung bestimmt: f(x)=(4x(x-2))/(x(x+2))

???
Du hast sowohl im Zähler als auch im Nenner die Potenzen falsch. Siehe meine Gleichung oben, Schritt 2

Zitat:

=(4x-8)/(x+2)
Ist das richtig?

Gekürzt sieht (meine) Funktion folgendermaßen aus: $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{4x-8}{x^2} \end{eqnarray*}$

Okay...da war ich ja doch noch sehr auf dem Holzweg... unglücklich

Das habe ich, dank dir, aber verstanden! smile

Zitat:

habe ich raus bekommen für die erste Ableitung: f '(x)= (- 4x^6+48x^4+64x^3)/(x^4+2x^3)^2

Die Ableitung ist richtig. lässt sich aber gewaltig vereinfachen (kleiner Tipp: Ist der Nenner von größerem Grad als 1, also hoch 2, hoch 3, etc. dann multiplizier ihn im Zähler nicht aus, sondern lass die Klammern stehen und kürz ihn hinterher weg (ich gehe davon aus, du differenzierst mittels NAZ - ZAN))

Zitat:

x^3(- 4x^3+48x+64) dann hätte ich x1=0
geht das? weil 0 ja ne Definitionslücke is?

Nein, 0 ist in diesem Fall kein Extrema. Wenn du die Ableitung so vereinfachst, wie ich weiter oben erwähnt hab, fällt der Faktor x sogar raus, sprich du kommst gar nich auf die 0 als Nullstelle der 1. Ableitung.

Zitat:

Und nun weiter? Polynomdivision?

In diesem Fall, kannst du vereinfachen und dir so eine Polynomdivision sparen. Aber sonst, müsstest du dich jetzt an den Faktor - 4x^3+48x+64 = 0 machen. Also Nullstelle raten und Polynomdivision.

Und zum Schluss, um dich bei Laune zu halten, hier die 2. Ableitung: $\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{8x-48}{x^4} \end{eqnarray*}$ . (Wenn du partout nicht auf die 1. kommst, kannst du die hier ja integrieren smile

)

Das WAR mir nicht so ganz klar... ich habe es tatsächlich mit der Ableitung die ich hatte weiter gerechnet Hammer

Naja, hatte aber trotzdem wenigstens das richtige raus bekommen Big Laugh

Wir haben das heute in der Schule verglichen... so konnte ich dann wenigstens a) und b) vorrechnen smile

Gebrochenrationale Funktionen, Kurvendiskussion etc.

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