funktonsgleichung gesucht |
| 19.08.2009, 23:13 | ferien | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| funktonsgleichung gesucht aufgabe:gesucht ist die funktionsgleichung einer parabel die parabel hat d en scheitel s(1/2) und geht durch O (0/0) doch um die funktionsgleichung herauszufinden braucht man doch drei punkte? 
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| 19.08.2009, 23:18 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: funktonsgleichung gesucht Du brauchst erstmal die allgemeine Funktionsgleichung, schreib die mal auf und wir sehen weiter. 
Aber du hast recht, du kannst nicht DIE Parabel aufstellen, du kannst aber eine Parabel aufstellen. |
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| 19.08.2009, 23:36 | Nubler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
die parabel kann aus der angabe so eindeutig bestimmt werden... welche informationen hast du? |
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| 20.08.2009, 12:30 | Mistmatz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Parabel kann so wirklich eindeutig bestimmt werden: Überleg dir, was der Punkt O (0;0) für ein besonderer Punkt auf der Parabel ist und ob es vielleicht noch mehr davon gibt. Als nächstes überleg dir, in welchem Verhältnis der Punkt S (1;2) zu diesen Punkten steht. |
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| 20.08.2009, 17:02 | ferien | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
besonderer punkt?ich komme einfach nicht drauf! |
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| 20.08.2009, 17:33 | Mistmatz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Welche besonderen Punkte kennst du denn bei einer Parabel? Ich mach den Anfang: Scheitel Jetzt du |
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| 20.08.2009, 18:09 | Whats-that | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich schmeiß als Hilfe noch das Wort Symetrie in die Runde. Wenn du beachtest findest du deinen dritten Punkt. |
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| 20.08.2009, 19:59 | ferien | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
nullstellen wenn es welche gibt
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| 20.08.2009, 20:08 | Nubler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
umweg über symmetrie ist nicht nötig stichpunkt scheitelpunktsform |
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| 20.08.2009, 20:23 | Mistmatz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was ist a? Ich sag doch, die Parabel ist eindeutig bestimmt und zwar wegen der Symmetrie!
Ganz genau. Und wie liegt der Scheitelpunkt zu den Nullstellen bei einer Parabel? |
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| 20.08.2009, 20:43 | Nubler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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| 20.08.2009, 20:50 | ferien | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hab mal bisschen gegooglet. man kann mithilfe des scheitelpunktes die nullstellen herausfinde.bin ich auf den richtigen w eg? |
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| 20.08.2009, 20:59 | Mistmatz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, der Scheitelpunkt S (1;2) liegt zwischen den Nullstellen (logisch) Eine Nullstelle lautet O (0;0) Außerdem haben wir gesagt, eine Parabel ist symmetrisch Nun überleg, wo die zweite ist |
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| 20.08.2009, 21:11 | ferien | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich komme eifnach nicht drauf. sry wenn es so erscheint als würde ich mich dumm anstellen. die 2. müsste ja den gleichen abstand zum scheitelpunkt haben wie die erste ,aufgrund der achsensymmetrie |
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| 20.08.2009, 21:19 | Mistmatz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nun, vom Scheitel S aus gesehen, musst du zur Nullstelle O eins nach links gehen, also musst du zur Nullstelle X_2 eins nach rechts. Der Scheitel liegt nämlich genau in der Mitte zwischen den Nullstellen. Es gilt Das kannst du bestimmt immer wieder brauchen. Gut als nächstes gehst du folgendermaßen vor: Die Gleichung lautet ja: Die erste hat keinen speziellen Namen (quadratische Gleichung halt), die zweite heißt Scheitelpunktsform und die dritte ist eine Linearfaktorzerlegung (x_1 und x_2 entspricht den Nullstellen) Nun kannst du dir aussuchen, wie du weiter machst. Sicher wär es vielleicht mit der Scheitelform von Anfang an schneller gegangen, aber es ist, denke ich, nich Sinn der Sache, auswendig zu lernen wann man was in welche Gleichung einsetzt, sondern man sollte ungefähr wissen, was man hat und was man berechnen soll und, wenn möglich, mehr als nur einen Weg dorthin kennen 
Edit: Zeichnung eingefügt |
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| 20.08.2009, 21:51 | Whats-that | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
man kann auch den weg über das Gaußverfahren wählen. das sieht dann etwa so aus ax²+bx+c = y a b c 4 2 1 0 1 1 1 2 0 0 1 0 4 2 1 0 0 2 3 8 0 0 1 0 c =0 b = 4 a = -2 dann ist die Gleichung y= -2x² +4x |
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| 20.08.2009, 22:40 | ferien | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
danke. diese gleichung ist für parabeln sehr nützlich 
die 2.nullstelle hat den x-koordinate : 2 Q(2/0) jetzt kann ich ja so ein lineares gleichungsystem benutzten. hab dann als lösung: 2x^2+4x |
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| 20.08.2009, 22:43 | ferien | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ein "-" vor dem a 
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| 21.08.2009, 07:31 | Kopfrechner | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, Mistmatz und Nubler haben den einfachsten Weg beschrieben, dazu noch die Lösung: Da S bekannt ist, gilt: Den Streckfaktor a erhält man durch Einsetzen von (0/0): , also a=-2. Es ist aber gut, wenn man die Eigenschaften einer Parabel kennt und dies bei der Lösung nutzen kann, wie hier durchdiskutiert. Gruß, Kopfrechner |
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| 21.08.2009, 15:28 | Mistmatz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na ja, das mit dem Gleichungssystem find ich jetz aber schon etwas übertrieben... Entweder: Scheitelpunkt in die Nullstellenform oder Nullstelle in die Scheitelpunktsform, fertig |
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| 22.08.2009, 16:56 | ferien | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wie lautet denn die nullstellenform wenn man die nullstelle in die scheitelpunktsform einsetzt hat man am ende a raus. aber dann hat man doch noch 2 variablen?! |
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| 22.08.2009, 17:17 | Kopfrechner | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, Mistmatz hat sie schon gegeben (Beitrag mit der Grafik): f(x) = a * (x-x1)*(x-x2) Die beiden Nullstellen hast du ja schon und setzt sie ein. Dann muss natürlich noch der Punkt (1/2) auf der Parabel liegen, das liefert dir eingesetzt eine Gleichung für a. Gruß, Kopfrechner |
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| 22.08.2009, 17:25 | ferien | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
bei f(x) muss dann 0 stehen oder? aber wenn ich a habe ist ,sind doch noch b und c unbekannt?! |
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| 22.08.2009, 20:24 | Kopfrechner | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du hast nicht gut gelesen. Jede Nullstelle führt zu einer Linearklammer: f(x) = a * (x-x1)*(x-x2) Wenn also x1=0 und x2=2 folgt: f(x)=a*(x-0)*(x-2) = a*x*(x-2)=a*(x^2-2x) Jetzt den Punkt(1/2) einsetzen: f(1) = 2 <=> ... Gruß, Kopfrechner |
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| 23.08.2009, 01:19 | ferien | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
f(1)=2 *(2^2-2*2) f(1)=2 *0 f(1)=0 was habe ich jetzt davon´?
entschuldigung für meine unfähigkeit. |
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| 23.08.2009, 08:16 | Kopfrechner | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, noch einmal vom Ausgangspunkt her: Du sollst eine Funktionsgleichung für eine Parabel bestimmen, die den Scheitelpunkt S(1/2) hat und durch (0/0) geht. 1. Lösungsvariante: Scheitelpunktsform nehmen - ist m.E. die beste Variante; wurde bereits erklärt und ergab f(x)=-2(x-1)^2+2 oder ausmultipliziert f(x)=-2x^2+4x - Aufgabe gelöst! 2. Lösungsvariante: Mit den Nullstellen arbeiten ... - Nullstelle1 steht im Text: x1=0. - Nullstelle2 muss aus Symmetriegründen gleich weit weg von xs=1 in die andere Richtung liegen, ist also x2=2. => DerAnsatz für die gesuchte Parabel ist also f(x)=a*x*(x-2), weil für jede Nullstelle der Funktionswert 0 sein muss. - Zur Bestimmung des Streckfaktors a nutzen wir die Information, dass S auf der Parabel liegen muss, also muss sein: f(1)=2. Hieraus folgt a*1*(1-2)=2 =>a=-2. => f(x)= -2*x*(x-2) oder ausmultipliziert f(x)= - 2x^2 +4x. - Aufgabe gelöst! Diese Methode ist immer dann gut, wenn man die beiden Nullstellen gegeben hat oder leicht bestimmen kann. Du hast in deinem letzten Beitrag schon benutzt, dass a=-2 ist, das wissen wir aber noch nicht, wenn wir mit der Nullstelenmethode die Parabelgleichung erst bestimmen wollen! Vorschlag: Rechne ein ähnliches Beispiel durch, einmal Variante 1 mit der Scheitelpunktform, dann (neu - ganz von vorne!) Variante 2 mit Hilfe der Nullstellen, z.B. Gegeben: Scheitelpunkt S((3/-1), die x-Achse wird bei 1 geschnitten... (Du solltest herausbekommen: a ist ein positiver Bruch, die Parabel ist also nach oben geöffnet und gestaucht). Viele Übungen zur Parabelbestimmung aus unterschiedlichen Angaben mit Lösung findest du hier: http://www.mathe-trainer.de/Klasse9/Quad...bensammlung.htm Gruß, Kopfrechner |
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| 23.08.2009, 13:23 | ferien | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok ,vielen dank
kann man es auch lösen, indem man ableitet? |
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| 23.08.2009, 15:12 | Kopfrechner | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja. Das wäre hier aber aufwändiger als die anderen Methoden. Ansatz dann am besten: f(x) = ax^2 +bx +c und f'(x)=2ax +b Dann hat man als Bedingungen: 1. f(0)=0 => c=0 2. f(1)=2 => a+b=2 3. f'(1)=0 => 2a+b=0 3)-2) liefert dann a=-2 und das in 2) b=4. Die Ableitung ist im umgekehrten Fall nützlicher, dass man eine quadratische Funktion hat und deren Scheitelpunkt sucht, z.B. bei f(x)= 3x^2 + x -5 f'(x)=6x +1 Im Scheitelpunkt ist f'(xs)=0 also 6xs+1=0 => xs=-1/6 ... Jetzt noch ys=f(xs)= ... Gruß, Kopfrechner |
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| 02.09.2009, 10:37 | Calculus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Noch nen Hinweis: Der Scheitelpunkt einer Parabel zeichnet sich dadurch aus, als dass dieser ein Extremwert der Parabel darstellt, die erste Ableitung der Parabel ist dort 0. |
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