Charakteristik eines Körpers

20.08.2009, 02:00	frischfisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Charakteristik eines Körpers Ich weiß es gab schon öfter Beiträge zu diesem Thema, aber die helfen mir nicht so recht weiter. In meinem Skript steht ein Text dazu und den verstehe ich leider überhaupt nicht. Sei K ein Körper. Betrachte die Abbildung: $\begin{eqnarray} \varphi: \mathbb Z \to K \end{eqnarray}$ die n nach $\begin{eqnarray} n\cdot 1 \in K \end{eqnarray}$ schickt. Dies ist ein Ringhomomorphismus, der Kern von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist ein Ideal in $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ , also von der Form <n> für ein $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N_0 \end{eqnarray}$ . Ist n = 0, so ist die Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi : \mathbb Z \to K \end{eqnarray}$ injektiv, und in diesem Fall sagt man, dass K Charakteristik 0 hat, char(K) = 0. Der Fall n=1 kann nicht auftreten, da stets $\begin{eqnarray} \varphi(1) = 1 \neq 0 \end{eqnarray}$ . Wir behaupten, dass in allen anderen Fällen n eine Primzahl sein muss. Wir bezeichnen dazu die induzierte Abbildung $\begin{eqnarray} \mathbb Z/<n> \hookrightarrow K \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \overline{\varphi} \end{eqnarray}$ . Wäre nämlich n keine Primzahl, so gibt es $\begin{eqnarray} a,b \neq 0 \in \mathbb Z/n\mathbb Z \end{eqnarray}$ mit ab=0, und somit $\begin{eqnarray} \overline{\varphi}(a)\overline{\varphi}(b) = 0 \end{eqnarray}$ in K, was nicht möglich ist, da K keine Nullteiler hat. Ist $\begin{eqnarray} ker(\varphi) = <p> \end{eqnarray}$ mit p eine Primzahl, so sagt man, dass K die Charakteristik p hat, Char(K)=p. Ist die Charakteristik von K gleich p>0, so hat man einen injektiven Homomorphismus $\begin{eqnarray} \mathbb Z /p \mathbb Z \hookrightarrow K \end{eqnarray}$ . In diesem Körper der Charakteristik p gilt also p=0. Ist Char(K)=0, so lässt sich der injektive Homomorphismus $\begin{eqnarray} \varphi: \mathbb Z \hookrightarrow K \end{eqnarray}$ zu einem injektiven Homomorphismus $\begin{eqnarray} \mathbb Q \hookrightarrow K \end{eqnarray}$ erweitern. Bei mir hört das Verständnis eigentlich schon ganz am Anfang auf... Warum darf denn n nicht 1 sein? n=1 würde geschickt werden auf n1=11=1 Oder bezieht er sich dabei irgendwie auf den Kern? Denn n=1 liegt nicht im Kern von phi, das ist klar. Ich habe in den anderen Beiträgen auch schon gelesen, dass die Charakteristik eines Körpers 0 oder eine Primzahl sein muss, das leuchtet mir sogar ein wenn man zb $\begin{eqnarray} \mathbb Z/p\mathbb Z \end{eqnarray}$ betrachtet. Dieser Text verwirrt mich total.
20.08.2009, 07:54	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja da ist eine Doppelbelegung von n im Text. Einmal ist es jedoch eine freie und einmal eine gebundene Variable. Sobald sie mit "also von der Form <n>" gebunden wurde wird nur noch über dieses n gesprochen. Zum besseren Verständnis sagen wir also $\begin{eqnarray} \ker \varphi = \langle x \rangle \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ ist dann $\begin{eqnarray} \ker \varphi = \mathbb Z \end{eqnarray}$ im Widerspruch zu $\begin{eqnarray} \varphi(1) = 1 \end{eqnarray}$ . Nichts anderes wollte der Text sagen. Was am Beweis von x>1 => x Primzahl verstehst du den nicht?
20.08.2009, 16:10	frischfisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm das mit dem n hat mich erstmal so verwirrt das ich total überfordert war und danach aus prinzip nix mehr verstanden hab. Zu der Sache mit den Primzahlen, ich weiß, dass $\begin{eqnarray} \mathbb Z/p\mathbb Z \end{eqnarray}$ ein Körper ist wenn p eine Primzahl ist, und kein Körper wenn p keine Primzahl ist. Aber ist denn jeder Körper isomorph zu so einem $\begin{eqnarray} \mathbb Z/p\mathbb Z \end{eqnarray}$ (mit p prim)? Gibt es nicht noch anderen Körper?
20.08.2009, 17:03	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt natürlich noch andere Körper. Jeder Körper der Charakteristik p hat aber einen Teilkörper der isomorph zu Z/pZ ist. Z/pZ ist der kleinste Teilkörper in Körpern der Charakteristik p und wir deshalb Primkörper genanntn.

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