Versuchstiere, Bedingte Wahrscheinlichkeit

20.08.2009, 09:47

estrella2109

Versuchstiere, Bedingte Wahrscheinlichkeit

Rechne im Moment sehr viel, deswegen auch so viele Fragen von mir.

Habe noch einmal eine Frage zu einer Aufgabe:

Versuchstiere laufen in einem Gang mit VErzweigung. Wer links läuft, wird mit Futter belohnt, wer rechts läuft, durch einen leichten elktrischen Schlag bestraft.
Im ersten Durchgang entscheiden sich die Tiere zufällig, d.h. mit Wahrscheinlichkeit 1/2 jeweils für rechts, bzw. links. In jedem weiteren Durchgang gehen 79% der zuletzt belohnten und 90% cer zuletzt bestraften Tiere nach links. Für ein festes $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sein $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ das Ereignis "Beim n-ten Durchgang geht ein zufällig ausgewähltes Tier nach links"

Zeigen Sie, dass für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} P(A_n)= 0,9-0,2P(A_n-_1) \end{eqnarray*}$

Bestimmen sie damit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } P(A_n) \end{eqnarray*}$

So, habe erst einmal die Erignisse wie folgt festgelegt:

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ :Tier geht nach links
$\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ : Tier geht nicht nach links
$\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ : Tier wird bestraft
$\begin{eqnarray*} B^c \end{eqnarray*}$ : Tier wird nicht bestraft

Dadurch ergeben sich die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
$\begin{eqnarray*} P(A)= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(A^c)= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(B)= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(B^c)= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_B(A)= \frac{7}{10} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_B^c(A)= \frac{9}{10} \end{eqnarray*}$

Jetzt wollte ich versuchen $\begin{eqnarray*} P(A_n) \end{eqnarray*}$ über die totale Wahrscheinlichkeit zu bestimmen und zeigen, dass genau der obige Ausdruck rauskommt. habe dabei aber das Problem, dass doch die Ereignisse A und B unvereinbar sind, P(AgeschnittenB) somit 0 ist und ich also $\begin{eqnarray*} P_A(B) \end{eqnarray*}$ nicht bestimmen kann
Mache ich etwas falsch?

20.08.2009, 09:53

estrella2109

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RE: Versuchstiere, Bedingte Wahrscheinlichkeit
ach herrje, ist nicht $\begin{eqnarray*} P_A(B)= \frac{3}{10} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_A^c(B)= \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ ?
hm verwirrt

20.08.2009, 09:55

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Deine Ereigniswahl ist sehr merkwürdig, denn gemäß Aufgabenstellung ist völlig klar, dass dann $\begin{eqnarray*} A=B \end{eqnarray*}$ ist, d.h., das extra Benennen von B ist irgendwie sinnlos. Wie du dann auf dieses falsche Resultat

Zitat:

Original von estrella2109
$\begin{eqnarray*} P_B(A)= \frac{7}{10} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_B^c(A)= \frac{9}{10} \end{eqnarray*}$

kommst, verstehe ich auch nicht.

Aus den Angaben der Aufgabe kannst du doch Übergangswahrscheinlichkeiten zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} P(A_n),P(A_n^c) \end{eqnarray*}$ aus den Vorgängerwahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P(A_{n-1}),P(A_{n-1}^c) \end{eqnarray*}$ ablesen und dann entsprechend verwerten.

20.08.2009, 10:05

estrella2109

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Nunja, ich dachte, die Wahrscheinlichkeit nach links zu gehen, unter der EBdingung, dass man vorher bestraft wurde ist 90% und unter der BEdingung, dassd man vorher belohnt wurde 70%.
Deswegen habe ich aus bestraft und belohnt auch ereignis gemacht. Natürlich hängt das direkt mit der Entscheidung links-rechts zusammen...

Wenn ich jetzt herausfinden will, wie ich von den 0,5 zur 0,7, also zweimal hintereinander links gehen, könnte ich doch einfach (will die vorgegeben Formel nicht benutzen, da ich diese ja beweisen solll) $\begin{eqnarray*} P(A_2)=P(A_1)\cdot x \end{eqnarray*}$ , demnach $\begin{eqnarray*} 0,7=0,5\cdot x \end{eqnarray*}$ , also x=1,4 jetzt nur für n=2
dies deckt sich aber nicht mit der Formel, die Ergebnisse sind aber doch so in der Aufgabe vorgegeben ?

20.08.2009, 10:33

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Zitat:

Original von estrella2109
Nunja, ich dachte, die Wahrscheinlichkeit nach links zu gehen, unter der EBdingung, dass man vorher bestraft

Von vorher steht oben nichts bei der Definition deiner Ereignisse - so wie es da steht, geht es um denselben Versuch!

Es ist auch gar nicht nötig, extra noch Ereignisse zu erfinden - mit $\begin{eqnarray*} A_n,A_{n-1} \end{eqnarray*}$ bzw. deren Komplementen lässt sich alles schlüssig formulieren:

$\begin{eqnarray*} P(A_n| A_{n-1}) = 0.7 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(A_n| A_{n-1}^c) = 0.9 \end{eqnarray*}$

P.S.: Du hast oben 79% stehen, aber alle Rechnungen deuten daraufhin, dass du da eigentlich 70% meinst!

20.08.2009, 10:49

estrella2109

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ja natürlich 70%
versuche gerade die aussage rekursiv zu ermitteln, hoffe das klappt...

20.08.2009, 17:31

estrella2109

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Also ich bin zu dem folgenden Schluss gekommen:

$\begin{eqnarray*} P(A_n)= P(A_n-_1)\cdot P_An-_1(A_n)+ P(A^c_n-_1)\cdot P_An-_1^c(A_n-_1) \end{eqnarray*}$
Damit ergibt sich ja:
$\begin{eqnarray*} P(A_n)= P(A_n-_1)\cdot0,7+ P(A^c_n-_1)\cdot 0,9=P(A_n-_1)\cdot0,7+ (1- P(A_n-_1))\cdot 0,9=<br /> P(A_n-_1)\cdot0,7+ 0,9- 0,9\cdot P(A_n-_1)=0,9-0,2\cdot P(A_n-_1) \end{eqnarray*}$

Das wäre ja genau die gegebene Formel, würde das ausreichen?

Zu $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } P(A_n) \end{eqnarray*}$ habe ich einfach einmal für bis n=5 durchgerechnet und schon daq kam für $\begin{eqnarray*} P(A_n) \end{eqnarray*}$ schon immer was um die 0,75 heraus, demnach ist der Grenzwert auch 0,75. Formal zeigen bekomme ich aber irgendwie nicht hin...mein Problem hierbei ist, dass ich ja immer das $\begin{eqnarray*} P(A_n-_1) \end{eqnarray*}$ kennen muss verwirrt

20.08.2009, 19:31

estrella2109

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Nochmal zu $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } P(A_n) \end{eqnarray*}$ ...

Ganz allgemein:

$\begin{eqnarray*} P(A_n)= 0,9-0,2P(A_n-_1) \end{eqnarray*}$

So, $\begin{eqnarray*} P(A_n-_1) \end{eqnarray*}$ geht ja gegen $\begin{eqnarray*} P(A_n) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$

Dadurch erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} P(A_n)= 0,9-0,2P(A_n) \end{eqnarray*}$ ,

dann

$\begin{eqnarray*} P(A_n)+0,2P(A_n)= 0,9 \end{eqnarray*}$ ,

dann

$\begin{eqnarray*} 1,2P(A_n)=0,9 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} P(A_n)=0,9/1,2 \end{eqnarray*}$ ,

also

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } P(A_n)=0,75 \end{eqnarray*}$

jetzt mag ich hören, dass das richtig ist, damit ich mich freuen kann smile

20.08.2009, 20:38

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Der Grenzwert stimmt, allerdings hast du nicht nachgewiesen, dass der Grenzwert überhaupt existiert. Und formal ist

Zitat:

Original von estrella2109
$\begin{eqnarray*} P(A_n)= 0,9-0,2P(A_n) \end{eqnarray*}$ ,

auch nicht in Ordnung - wenn schon, dann musst du es so schreiben: Für den Grenzwert $\begin{eqnarray*} p = \lim\limits_{n\to\infty} P(A_n) \end{eqnarray*}$ (so er denn überhaupt existiert, s.o.) muss

$\begin{eqnarray*} p = 0.9 - 0.2\cdot p \end{eqnarray*}$

gelten. Wenn du direkt $\begin{eqnarray*} P(A_n) \end{eqnarray*}$ schreibst, ist es schlicht falsch.

Und als letztes: Bitte schreib doch endlich $\begin{eqnarray*} A_{n-1} \end{eqnarray*}$ statt des unsäglichen $\begin{eqnarray*} A_n-_1 \end{eqnarray*}$ .

20.08.2009, 20:46

estrella2109

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Der Grenzwert stimmt, allerdings hast du nicht nachgewiesen, dass der Grenzwert überhaupt existiert. Und formal ist

Zitat:

Original von estrella2109
$\begin{eqnarray*} P(A_n)= 0,9-0,2P(A_n) \end{eqnarray*}$ ,

Ja, sorry, ging so schneller, weil es ja schon in meinem Beitrag stand, ganz einfach copy&paste Ups

Zitat:

Original von Arthur Dent
Und als letztes: Bitte schreib doch endlich $\begin{eqnarray*} A_{n-1} \end{eqnarray*}$ statt des unsäglichen $\begin{eqnarray*} A_n-_1 \end{eqnarray*}$ .

Wie denn, hab es ausprobiert..mit Klammer setzen, mit mehreren Unterstrichen, aber immer Fehlermeldung verwirrt

Deswegen habe ich es so geschrieben

Gut, dass der Grenzwert existiert habe ich nicht gezeigt, sicher gehört das dazu, in der Aufgabe stand halt nur ganz lapidar, dass man mit der einen Formel den Grenzwert bestimmen soll...fraglich ob die die Existenz wollen. Aber hätte es tun können.

Mir ging es primär auch darum, dass ich es jetzt verstanden habe und herausbekommen habe. Freude

20.08.2009, 20:51

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Zitat:

Original von estrella2109

Zitat:

Original von Arthur Dent
Und als letztes: Bitte schreib doch endlich $\begin{eqnarray*} A_{n-1} \end{eqnarray*}$ statt des unsäglichen $\begin{eqnarray*} A_n-_1 \end{eqnarray*}$ .

Wie denn, hab es ausprobiert..mit Klammer setzen, mit mehreren Unterstrichen, aber immer Fehlermeldung verwirrt

Du hast meinen Beitrag doch gerade zitiert - machst du da bewusst die Augen zu??? Forum Kloppe

Ich habe es doch da geschrieben: $\begin{eqnarray*} A_{n-1} \end{eqnarray*}$ , ohne LaTeX-Umgebung A_{n-1}.

P.S.: Wenn du dir die ersten paar Werte $\begin{eqnarray*} P(A_1),P(A_1),P(A_3),\ldots \end{eqnarray*}$ anschaust, solltest du eigentlich drauf kommen, dass die Konvergenzannäherung "geometrisch" geschieht. D.h., $\begin{eqnarray*} (P(A_n)-0.75) \end{eqnarray*}$ ist eine geometrische Folge, was man dann auch sehr leicht nachweisen kann.

20.08.2009, 20:53

estrella2109

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von estrella2109

Zitat:

Original von Arthur Dent
Und als letztes: Bitte schreib doch endlich $\begin{eqnarray*} A_{n-1} \end{eqnarray*}$ statt des unsäglichen $\begin{eqnarray*} A_n-_1 \end{eqnarray*}$ .

Wie denn, hab es ausprobiert..mit Klammer setzen, mit mehreren Unterstrichen, aber immer Fehlermeldung verwirrt

Du hast meinen Beitrag doch gerade zitiert - machst du da bewusst die Augen zu??? Forum Kloppe

Ich habe es doch da geschrieben: $\begin{eqnarray*} A_{n-1} \end{eqnarray*}$ , ohne LaTeX-Umgebung A_{n-1}.

Ja jetzt seh ich es auch...habe eben nur zitiert und nicht geschaut, da hast du recht Hammer

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