Separabilität

20.08.2009, 11:18

Gaußsche Zahl

Separabilität

Lemma:

Für einen normierten Raum sind äquivalent:

i) $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist separabel
ii) Es gibt eine abzählbare Menge A mit $\begin{eqnarray*} X = \overline{span}(A) = \overline{span(A)} \end{eqnarray*}$

Beweis:

$\begin{eqnarray*} i)\Rightarrow\ ii): \end{eqnarray*}$ Ist klar, denn $\begin{eqnarray*} X = \overline{A} \end{eqnarray*}$ impliziert $\begin{eqnarray*} X = \overline{span}(A) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ii)\Rightarrow\ i): \end{eqnarray*}$ ???

So meine Frage ist, dass die erste Implikation sehr einfach bewiesen wird in meinem Buch. Bei der zweiten is der Beweis schon länger. Wieso kann man denn nicht für die Rückrichtung ebenso wie bei $\begin{eqnarray*} i)\Rightarrow\ ii) \end{eqnarray*}$ argumentieren nur eben umgekehrt??

Edit: Wie lautet denn der Latexbefehl für die lineare Hülle, also lin oder span kann das irgendwie nicht finden. Danke!

20.08.2009, 15:07

Gaußsche Zahl

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seit ihr alle im Schwimmbad? Augenzwinkern

20.08.2009, 19:54

Mathespezialschüler

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Wie sollte man denn umgekehrt argumentieren können? Aus $\begin{eqnarray*} \overline{\operatorname{span}(A)}=X \end{eqnarray*}$ folgt doch nicht $\begin{eqnarray*} \overline A=X \end{eqnarray*}$ !

Es ist nunmal oftmals so in der Mathematik, dass eine Richtung um einiges einfacher ist als eine andere. Verwundert dich das so sehr? verwirrt

20.08.2009, 20:41

WebFritzi

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Zitat:

Original von Gaußsche Zahl
seit ihr alle im Schwimmbad? Augenzwinkern

Seit wann wird "seid" mit 't' geschrieben? Augenzwinkern

25.08.2009, 16:52

Gaußsche Zahl

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ii) $\begin{eqnarray*} X = \overline{span}(A) = \overline{span(A)} \end{eqnarray*}$ man könnte doch jetzt sagen, dass das genauso impliziert das $\begin{eqnarray*} \overline A=X \end{eqnarray*}$

Zitat:

Es ist nunmal oftmals so in der Mathematik, dass eine Richtung um einiges einfacher ist als eine andere. Verwundert dich das so sehr? verwirrt

Doch. Deswegen frage ich ja!

25.08.2009, 17:50

WebFritzi

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Zitat:

Original von Gaußsche Zahl
ii) $\begin{eqnarray*} X = \overline{span}(A) = \overline{span(A)} \end{eqnarray*}$ man könnte doch jetzt sagen, dass das genauso impliziert das $\begin{eqnarray*} \overline A=X \end{eqnarray*}$

Könnte man sagen, ja. Nur sagt man dann etwas falsches. Augenzwinkern

Beispiel: $\begin{eqnarray*} X = \ell^1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A = \{e_n : n\in\mathbb N\}, \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} e_n \end{eqnarray*}$ die n-te Einheitsfolge sei.

Zur Aufgabe: Denk mal an endliche Linearkombinationen von Elementen aus A mit rationalen Koeffizienten (bzw. Koeffizienten aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q + i\mathbb Q, \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} \mathbb K = \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist).

26.08.2009, 15:43

Gaußsche Zahl

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Zitat:

Beispiel: $\begin{eqnarray*} X = \ell^1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A = \{e_n : n\in\mathbb N\}, \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} e_n \end{eqnarray*}$ die n-te Einheitsfolge sei.

O.k. habe gerade gelesen, dass die lineare Hülle einer Menge auch Abschluss genannt wird.

http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_H%C3%BClle

Bedeutet dass dann $\begin{eqnarray*} \overline{A} = span(A)? \end{eqnarray*}$

Um nochmal auf WebFritzis Beispiel zurückzukommen; natürlich gilt in dem Beispiel nicht $\begin{eqnarray*} \overline{A} = l^1 \end{eqnarray*}$ , denn wir haben ja bereits gelernt, dass
$\begin{eqnarray*} l^1 = \overline{span(A)} \end{eqnarray*}$ ist.

So es gilt ja allgemein $\begin{eqnarray*} \overline{Y} = Y \cup \partial Y \end{eqnarray*}$ mit:

$\begin{eqnarray*} \partial Y := \{x \in X: U_{\varepsilon}(x) \cap Y \not= \varnothing\ und\ U_{\varepsilon}(x) \cap \complement Y \not= \varnothing\ \forall \varepsilon > 0\} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} X \subset Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ein metrischer Raum ist.

Jetzt möchte ich den Abschluss von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bilden, d.h.

$\begin{eqnarray*} t \in \overline{A} \Longleftrightarrow \end{eqnarray*}$ Es existiert eine Folge $\begin{eqnarray*} (t_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t_n \rightarrow t \end{eqnarray*}$

Die Folgen aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ konvergieren alle gegen null, die null ist aber schon in A enthalten, daher gilt dann $\begin{eqnarray*} A = \overline{A} \end{eqnarray*}$
So damit können wir an Web Fritzis Beispiel einen Haken machen.

Zitat:

Zur Aufgabe: Denk mal an endliche Linearkombinationen von Elementen aus A mit rationalen Koeffizienten (bzw. Koeffizienten aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q + i\mathbb Q, \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} \mathbb K = \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist

Setze nämlich $\begin{eqnarray*} C := \{ \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i: n \in \mathbb{N}, \lambda_i \in \mathbb{Q} + i \mathbb{Q}, x_i \in A \} \end{eqnarray*}$ . Bleibt zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \overline{C} = X \end{eqnarray*}$

26.08.2009, 17:14

Gaußsche Zahl

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Edit:

Sry es gilt nicht $\begin{eqnarray*} \overline{A} = A \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} \overline{A} = span(A) \end{eqnarray*}$

Da ja der Nullvektor nicht in A liegt.

26.08.2009, 20:54

WebFritzi

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Zitat:

Original von Gaußsche Zahl
O.k. habe gerade gelesen, dass die lineare Hülle einer Menge auch Abschluss genannt wird.

Dann hast du dich verlesen. Diese Aussage ist nämlich falsch.

26.08.2009, 23:25

Gaußsche Zahl

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Zitat:

Dann hast du dich verlesen. Diese Aussage ist nämlich falsch.

Wenn du den Wiki Link geöffnet hättest, hättest du gesehen, dass ich mich nicht verlesen habe. Ich glaube du hast etwas überlesen.. Augenzwinkern

26.08.2009, 23:35

WebFritzi

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Unglaublich... Du hast recht. Sorry. Das ist aber ein anderer Abschluss, und das Wort Abschluss für den Span zu verwenden ist IMHO sehr unüblich. Wir reden hier vom topologischen Abschluss, und der ist so definiert wie wir es dir schon mehrmals geschrieben haben. Span und (topologischer) Abschluss sind völlig verschiedene Dinge.

26.08.2009, 23:44

Gaußsche Zahl

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Was ist denn nun der Abschluss von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ??

Ist es richtig wenn ich sage, jedes $\begin{eqnarray*} e_n \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen null, daher müsste $\begin{eqnarray*} \overline{A} = A \cup \{0\} \end{eqnarray*}$ sein.

27.08.2009, 12:48

WebFritzi

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Zitat:

Original von Gaußsche Zahl
Was ist denn nun der Abschluss von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ??

Wie du den bildest, wurde dir schon mehrfach erklärt. Du machst ja nicht einmal selber den Versuch, diesen zu berechnen. Zumindest schreibst du nichts dergleichen hier rein. Das solltest du aber... Um dir wenigstens mal ein Beispiel zu geben, zeig ich dir wie es geht:

Zitat:

Original von Gaußsche Zahl
Ist es richtig wenn ich sage, jedes $\begin{eqnarray*} e_n \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen null, daher müsste $\begin{eqnarray*} \overline{A} = A \cup \{0\} \end{eqnarray*}$ sein.

Nein. Sei (x_k) eine Folge in A, die in l^1 konvergiert. Es gilt

$\begin{eqnarray*} \|e_n - e_m\|_{\ell^1} = \begin{cases}2, &\text{ falls }n\neq m\\0, &\text{ falls }n=m.\end{cases} \end{eqnarray*}$

Deshalb muss (x_k) ab einem bestimmten Index konstant sein und somit gegen ein e_n konvergieren. Es ist also $\begin{eqnarray*} \overline A = A \end{eqnarray*}$ (bzw.: A ist abgeschlossen).

28.08.2009, 15:59

Gaußsche Zahl

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Zitat:

O.k. ich bin ja dankbar für jede Hilfe, aber schau dir mal dieses (von mir) Posting an:

Zitat:

Jetzt möchte ich den Abschluss von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bilden, d.h. $\begin{eqnarray*} t \in \overline{A} \Longleftrightarrow \end{eqnarray*}$ Es existiert eine Folge $\begin{eqnarray*} (t_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t_n \rightarrow t \end{eqnarray*}$ Die Folgen aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ konvergieren alle gegen null, die null ist aber schon in A enthalten, daher gilt dann $\begin{eqnarray*} A = \overline{A} \end{eqnarray*}$ So damit können wir an Web Fritzis Beispiel einen Haken machen.

... und jetzt sagts du ich würde es gar nicht versuchen, was falsch ist. Ich habe es versucht! Bin sogar zum richtigen Ergebniss gekommen aber habe es dann wieder verworfen, dass hast du leider überlesen Web Fritzi (auch wenn meine Ausführungen nicht gerade toll sind). Versucht hab ich es aber. Augenzwinkern

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \|e_n - e_m\|_{\ell^1} = \begin{cases}2, &\text{ falls }n\neq m\\0, &\text{ falls }n=m.\end{cases} \end{eqnarray*}$

...ist eine Cauchy Folge und ist konstant. Richtig.

Aber erstens du schreibst $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ ist eine Folge aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , aber die Elemente aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sind ohnehin nur die Einheitsfolgen also wieso $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ ??

Außerdem konvergiert die Folge $\begin{eqnarray*} e_n \end{eqnarray*}$ doch gegen null?!

Und die Norm: $\begin{eqnarray*} \Vert \cdot \Vert_{\ell^1} \end{eqnarray*}$ kenne ich nicht.
Die Norm lautet richtig: $\begin{eqnarray*} \Vert \cdot \Vert_{p=1} \end{eqnarray*}$

30.08.2009, 06:24

WebFritzi

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Zitat:

Original von Gaußsche Zahl

Zitat:

O.k. ich bin ja dankbar für jede Hilfe, aber schau dir mal dieses (von mir) Posting an:

Zitat:

Du hast recht. Ich hatte das zwar gelesen, aber vergessen. Tschuldigung. Aber ich hatte es vergessen, weil es Unsinn ist. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Gaußsche Zahl

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \|e_n - e_m\|_{\ell^1} = \begin{cases}2, &\text{ falls }n\neq m\\0, &\text{ falls }n=m.\end{cases} \end{eqnarray*}$

...ist eine Cauchy Folge und ist konstant. Richtig.

Was bitte soll eine Cauchyfolge sein?

Zitat:

Original von Gaußsche Zahl
Aber erstens du schreibst $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ ist eine Folge aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , aber die Elemente aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sind ohnehin nur die Einheitsfolgen also wieso $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ ??

So langsam wird es müßig... Um den Abschluss zu bilden, nimmt man sich eine konvergent Folge aus A. Hier besteht A aus den Einheitsfolgen. Also nimmt man sich eine Folge von Einheitsfolgen.

Zitat:

Original von Gaußsche Zahl
Außerdem konvergiert die Folge $\begin{eqnarray*} e_n \end{eqnarray*}$ doch gegen null?!

Die reelle Folge (e_n) konvergiert in IR gegen Null. Richtig. Und? Was willst du jetzt damit ausdrücken?

Zitat:

Original von Gaußsche Zahl
Und die Norm: $\begin{eqnarray*} \Vert \cdot \Vert_{\ell^1} \end{eqnarray*}$ kenne ich nicht.
Die Norm lautet richtig: $\begin{eqnarray*} \Vert \cdot \Vert_{p=1} \end{eqnarray*}$

Nun reite mal nicht auf Kleinscheiß herum. Im Allgemeinen schreibt man an die Norm eines normierten Vektorraumes als Index die Bezeichung des Raums, damit der Leser weiß, um welche Norm es sich handelt. Also schreibt man $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_{\ell^1}. \end{eqnarray*}$ Die Bezeichnung von dir habe ich noch nirgendwo gesehen. Wenn sie bei dir in der Vorlesung so bezeichnet wird, dann heißt das nicht, dass das immer der Fall ist. In diesem Fall muss man sogar sagen: fast nie.

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