Folgenraum l^p separabel??

20.08.2009, 11:56

Gaußsche Zahl

Auf diesen Beitrag antworten »

Folgenraum l^p separabel??

Also gerade habe ich gelernt, dass der Raum

$\begin{eqnarray*} l^p := \{ (t_n): t_n \in \mathbb{K}, \sum_{k=1}^{\infty} |t_n|^p < \infty \} \end{eqnarray*}$ , anscheinend separabel ist. Die Begründung verstehe ich nicht so ganz!

Sei $\begin{eqnarray*} e_n = (0,...,0,1,0,....) \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} A = \{e_n: n \in \mathbb{N}\} \end{eqnarray*}$ .

Es ist dann $\begin{eqnarray*} \overline{span}(A) = l^p \end{eqnarray*}$

Warum nun die lineare Hülle von A (Abschluss) das gleiche sein soll wie $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$ sehe ich nicht, imerhin sind die Elemente aus $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$ Folgen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} = \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

Edit: Was heißt den den Abschluss bzgl. $\begin{eqnarray*} \Vert \cdot \Vert_p \end{eqnarray*}$ (p-Norm) bilden???

20.08.2009, 15:08

Gaußsche Zahl

Auf diesen Beitrag antworten »

freut mich ja das gerade alle im Schwimmbad liegen, vlt. hat trotzdem jmd. Interresse die Aufgabe zu erklären... Wink

Wink

20.08.2009, 20:00

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist denn bei dir der Abschluss definiert? In einem normierten Raum (sogar allgemeiner in einem metrischen Raum) kann man immer einen Abschluss einer Teilmenge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bilden. Dies ist die kleinste abgeschlossene Obermenge von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ oder die Menge aller Grenzwerte konvergenter Folgen mit Gliedern in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .

Der Span von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist hier der Raum aller endlichen Folgen, d.h. aller Folgen, die nur endlich viele Nichtnullen besitzen. Du musst zeigen, dass diese Menge dicht liegt im ganzen Raum.

Sei also ein beliebiges Element $\begin{eqnarray*} (t_n) \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \ell^p \end{eqnarray*}$ gegeben. Du musst nun zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein Element aus dem Span von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ finden, welches zu $\begin{eqnarray*} (t_n) \end{eqnarray*}$ einen kleineren Abstand als $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ hat. Dafür brauchst du nur die Definition der Konvergenz einer Reihe.

20.08.2009, 20:21

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Gaußsche Zahl
freut mich ja das gerade alle im Schwimmbad liegen, vlt. hat trotzdem jmd. Interresse die Aufgabe zu erklären... Wink

Wink

Freut mich, dass du das Prinzip kategorisch überlesen wolltest, vllt. hast du aber trotzdem Lust, dies nachzuholen und nicht unnötig früh zu pushen!

air

25.08.2009, 16:47

Gaußsche Zahl

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wie ist denn bei dir der Abschluss definiert?

$\begin{eqnarray*} \overline{M} = M \cup \partial M \end{eqnarray*}$

Zitat:

In einem normierten Raum (sogar allgemeiner in einem metrischen Raum) kann man immer einen Abschluss einer Teilmenge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bilden.

Ok. Das kann man machen weil man immer eine Norm hat und somit auch Begriffe wie Rand oder Abschluss wohldefiniert sind.

Zitat:

Dies ist die kleinste abgeschlossene Obermenge von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ oder die Menge aller Grenzwerte konvergenter Folgen mit Gliedern in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Sei also ein beliebiges Element $\begin{eqnarray*} (t_n) \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \ell^p \end{eqnarray*}$ gegeben. Du musst nun zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein Element aus dem Span von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ finden, welches zu $\begin{eqnarray*} (t_n) \end{eqnarray*}$ einen kleineren Abstand als $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ hat. Dafür brauchst du nur die Definition der Konvergenz einer Reihe.

Jetzt mal vorweg wieviele Zeileneinträge haben die Vektoren aus A denn??

Was heißt denn nochmal genau Abschluss bzgl. der Norm bilden. Ist das selbe wie Konvergenz bzgl. der jeweiligen Norm oder was??

und was ich auch nich ganz checke ist die Tatsache, dass die Elemente aus A Vektoren sind und aus l^p sind es Folgen. Seit wann ist ein Vektor das Gleiche wie eine Folge???

25.08.2009, 17:16

Cordovan

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums. Wenn der Vektorraum ein Folgenraum sind, ist ein Vektor eben eine Folge. Wenn der Raum ein Funktionenraum ist, dann ist der Vektor eine Funktion. Wenn der Vektorraum der R^n ist, dann ist ein Vektor eine Spalte mit n Einträgen.

A

Anzeige

25.08.2009, 17:22

Gaußsche Zahl

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das stimmt alles aber die Elemente von unserer Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und der Menge $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$ sind doch schon was anderes.

Außerdem kann $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ kein Vektorraum sein, denn rechne mal $\begin{eqnarray*} e_1 + e_1 \end{eqnarray*}$ aus, dann siehst du schnell, dass dieses Element nicht mehr in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.08.2009, 17:48

Cordovan

Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt

Natürlich nicht (hab ich behauptet, dass A ein VR ist?), aber es gilt $\begin{eqnarray*} A\subseteq\ell^p \end{eqnarray*}$ und damit sind die Elemente von A Vektoren aus dem Vektorraum $\begin{eqnarray*} \ell^p \end{eqnarray*}$ .

A

25.08.2009, 17:58

Gaußsche Zahl

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

aber es gilt $\begin{eqnarray*} A\subseteq\ell^p \end{eqnarray*}$ und damit sind die Elemente von A Vektoren aus dem Vektorraum $\begin{eqnarray*} \ell^p \end{eqnarray*}$

Und genau da liegt mein Verständnisproblem, denn wieso ist

$\begin{eqnarray*} e_3 := (0,0,1,0,...,0) \in l^p \end{eqnarray*}$ , das sehe ich nun wirklich nicht so klar.

Eine Folge ist doch von der Form $\begin{eqnarray*} (t_n) \end{eqnarray*}$ und die Folgen in den $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$ Räumen sind doch $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ und nicht

$\begin{eqnarray*} \in \mathbb{K}^n \end{eqnarray*}$ vom Standpunkt der linearen Algebra aus ist das doch ein großer Unterschied?!

Zitat:

Natürlich nicht (hab ich behauptet, dass A ein VR ist?

Nein

25.08.2009, 18:01

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Abschluss einer Menge M in einem metrischen Raum ist die Menge aller Grenzwerte von konvergenten Folgen in M.

Du musst also nur zeigen, dass jede Folge in l^p der Grenzwert einer Folge in span(A) ist. Beachte, dass das dann eine Folge von Folgen ist. Wie du das machen kannst, hat dir Mathespezialschüler schon erläutert.

Und Cordovan kannst du ruhig glauben. Die Elemente von A und l^p sind eben nichts anderes, denn A ist eine Teilmenge von l^p (wie Cordovan schon schrieb).

25.08.2009, 18:03

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Gaußsche Zahl
$\begin{eqnarray*} e_3 := (0,0,1,0,...,0) \end{eqnarray*}$

Da hast du dich verlesen. Es ist

$\begin{eqnarray*} e_3 := (0,0,1,0,0,\dots). \end{eqnarray*}$

e_3 ist also die Folge, deren Glieder bis auf das dritte (welcches gleich Eins ist) Null sind.

26.08.2009, 17:12

Gaußsche Zahl

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Da hast du dich verlesen. Es ist $\begin{eqnarray*} e_3 := (0,0,1,0,0,\dots). \end{eqnarray*}$

Verlesen habe ich mich nicht. Die Notation einer Folge sollte meiner Meinung nach anders sein, da bei der Schreibweise $\begin{eqnarray*} e_n := (0,...,0,1,0,....) \end{eqnarray*}$ man leicht denken könnte, dass es sich um einen "normalen" Vektor handelt.

Hier mal mein Alternativvorschlag um die Sache ein bisschen besser zu machen:

$\begin{eqnarray*} f_m(n)=\begin{cases} 1, & \text{wenn }n = m\\ 0, & \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ,

dann sieht man gleich was gemeint ist, denn die Schreibweise $\begin{eqnarray*} e_n = (0,...,0,1,0,...) \end{eqnarray*}$ impliziert ja eigentlich (aus sich der linearen Algebra), dass $\begin{eqnarray*} e_n \in \mathbb{K}^n \end{eqnarray*}$ ist.

Was heißt denn nochmal genau Abschluss bzgl. der Norm bilden. Ist das selbe wie Konvergenz bzgl. der jeweiligen Norm oder was??

26.08.2009, 17:36

Cordovan

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

denn die Schreibweise $\begin{eqnarray*} e_n = (0,...,0,1,0,...) \end{eqnarray*}$ impliziert ja eigentlich (aus sich der linearen Algebra), dass $\begin{eqnarray*} e_n \in \mathbb{K}^n \end{eqnarray*}$ ist.

Nein, deine vorherige Schreibweise $\begin{eqnarray*} e_3 := (0,0,1,0,...,0) \end{eqnarray*}$ würde bedeuten, dass der Vektor nur endlich viele Einträge hat (und damit aus einem $\begin{eqnarray*} \mathbb K^n \end{eqnarray*}$ kommt), während WebFritzis Schreibweise einen (unendlich langen) Vektor (aus $\begin{eqnarray*} \ell^p \end{eqnarray*}$ ) meint.

Cordovan

26.08.2009, 17:43

Gaußsche Zahl

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Nein, deine vorherige Schreibweise $\begin{eqnarray*} e_3 := (0,0,1,0,...,0) \end{eqnarray*}$ würde bedeuten, dass der Vektor nur endlich viele Einträge hat (und damit aus einem $\begin{eqnarray*} \mathbb K^n \end{eqnarray*}$ kommt), während WebFritzis Schreibweise einen (unendlich langen) Vektor (aus $\begin{eqnarray*} \ell^p \end{eqnarray*}$ ) meint.

Ja stimmt, aber dass ist anscheinend der Aufhänger in der Funktionalanalysis, dass man eben Folgen bzw. Funktionen als Vektoren aus einem VR interpretiert. Daran muss ich mich noch gewöhnen.

Dennoch kann man auch

$\begin{eqnarray*} f_m(n)=\begin{cases} 1, & \text{wenn }n = m\\ 0, & \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}, m \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , schreiben um für einen Neuling die Sache zu erleichtern. Sonst sind Mathematiker sich ja nie zu schade alles genau zu definieren.

26.08.2009, 20:57

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist tatsächlich korrekter. Du solltest nur f durch e ersetzen.

26.08.2009, 23:30

Gaußsche Zahl

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Was heißt den den Abschluss bzgl. $\begin{eqnarray*} \Vert \cdot \Vert_p \end{eqnarray*}$ (p-Norm) bilden?

Sry, aber wäre nice wenn mir jmd. nochmal sagen könnte was das heißt. verwirrt

verwirrt

26.08.2009, 23:40

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Das macht man wie in jedem anderen normierten Vektorraum auch, und wie das geht, haben wir dir schon im anderen Thread erklärt.

26.08.2009, 23:51

Gaußsche Zahl

Auf diesen Beitrag antworten »

Ihr habt mir erklärt wie man den Abschluss bildet, aber nicht was das mit der Formuliereung "bzgl. der p-Norm" auf sich hat.

Außerdem sehe ich nicht was die Definition des Abschlusses

$\begin{eqnarray*} \overline{M} = M \cup \partial M \end{eqnarray*}$ , mit der p-Norm zu tun hat.

Ich sehe da nirgendswo die p-Norm.

27.08.2009, 12:53

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Die p-Norm definiert die Topologie. Und die steckt sowohl in $\begin{eqnarray*} \overline M \end{eqnarray*}$ als auch in $\begin{eqnarray*} \partial M, \end{eqnarray*}$ denn sowohl Abschluss als auch Rand sind topologische Begriffe.

Nochmal: Der Abschluss einer Menge A in einem normierten Vektorraum X ist die Menge aller Grenzwerte konvergenter Folgen mit Gliedern aus A.

Hier ist das "konvergent" der Knackpunkt, denn das ist die Konvergenz bzgl. der Norm des normierten Vektorraumes - bei dir also eben die p-Norm.

Ich hoffe, du hast es jetzt endlich verstanden.

28.08.2009, 11:39

Gaußsche Zahl

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Nochmal: Der Abschluss einer Menge A in einem normierten Vektorraum X ist die Menge aller Grenzwerte konvergenter Folgen mit Gliedern aus A.

Mich stört an dieser Formulierung eines: Man könnte fast meinen, dass "die Menge aller Grenzwerte" bedeutet, dass im Abschluss nur die Grenzwerte liegen.
Es liegen, aber in der Tat auch alle Folgenglieder drin. Das finde ich merkwürdig.

Zitat:

Hier ist das "konvergent" der Knackpunkt, denn das ist die Konvergenz bzgl. der Norm des normierten Vektorraumes - bei dir also eben die p-Norm.

Oh o.k. danach habe ich als gesucht, genau es ist das Wort Konvergenz, welches impliziert, dass wir Konvergenz bezügl. der p-Norm untersuchen.

Danke für deine Geduld. Ich muss wirklich in Zukunft ein bisschen genauer arbeiten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.08.2009, 13:33

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Mich stört an dieser Formulierung eines: Man könnte fast meinen, dass "die Menge aller Grenzwerte" bedeutet, dass im Abschluss nur die Grenzwerte liegen. Es liegen, aber in der Tat auch alle Folgenglieder drin. Das finde ich merkwürdig.

Naja, Du kannst jedes Folgenglied $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ einer Folge in A als Grenzwert einer anderen Folge $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ in A betrachten. Nämlich die konstante Folge

$\begin{eqnarray*} b_n = a_i \end{eqnarray*}$

diese liegt in A und konvergiert trivialer Weise gegen a_i. Daher reicht die Formulierung "alle Grenzwerte aller konvergenten Folgen in A" völlig aus.

Zitat:

Danke für deine Geduld. Ich muss wirklich in Zukunft ein bisschen genauer arbeiten.

Das ist eines der Dinge die man im Mathestudium lernt Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.08.2009, 16:01

Gaußsche Zahl

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Naja, Du kannst jedes Folgenglied $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ einer Folge in A als Grenzwert einer anderen Folge $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ in A betrachten. Nämlich die konstante Folge $\begin{eqnarray*} b_n = a_i \end{eqnarray*}$ diese liegt in A und konvergiert trivialer Weise gegen a_i. Daher reicht die Formulierung "alle Grenzwerte aller konvergenten Folgen in A" völlig aus.

Aja das habe ich übersehen. Danke, jetzt ist mir die Sache klar.

30.08.2009, 06:45

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Schön.

smile

Gruß vom WebFritzi. Tanzen

Tanzen

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »