Ableitung der Umkehrfunktion

20.08.2009, 13:31

Eva-S

Definitionsbereich / Zeige f' (x) = 1- f(x)^2 / Ableitung der Umkehrfunktion

Die Aufgabe lautet
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \end{eqnarray*}$

a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich von f.
b) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} f'(x) = 1 - (f(x))^2 \end{eqnarray*}$ ist
c) Bestimmen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion von f.

Hier muss ich gestehen weiß ich schon bei a) nicht genau wie ich den Def-Bereich ermittle.

Kann mir jemand helfen bitte?

20.08.2009, 13:40

Vieta

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Zur Aufgabe a)

Wann ist ein Bruch nochmal definiert?

b) erste Ableitung bilden und ebenso wie die Funktion in die gegebene Gleichung einsetzen. Danach solange kürzen, bis man eine wahre Aussage wie 1=1 erkennt

c) Umkehrfunktion bilden und dann ableiten

20.08.2009, 18:34

Eva-S

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zu a) würde ich jetzt sagen, der Nenner wird niemals 0.
Aber wie kann ich das beweisen?

reicht die Begründung das e^x genau wie e^(-x) immer positiv ist und damit der Nenner ebenfalls immer positiv ist?

20.08.2009, 18:44

Romaxx

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20.08.2009, 18:44

Eva-S

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$\begin{eqnarray*} D_f = \mathbb R \end{eqnarray*}$

weil $\begin{eqnarray*} D_{exp(x)} >0 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} e^{-x} = \frac{1}{e^x} > 0 \end{eqnarray*}$

Kann man das so schreiben und reicht das dann für Teilaufgabe a) ?

20.08.2009, 19:00

Eva-S

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Ansatz bisher zu Teilaufgabe b):
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{(e^x+e^{-x})(e^x+e^{-x})-(e^x-e^{-x})(e^x-e^{-x})}{(e^x+e^{-x})^2} = \frac{(e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2}{(e^x+e^{-x})^2} \end{eqnarray*}$

20.08.2009, 19:20

Romaxx

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Zitat:

Original von Eva-S
weil $\begin{eqnarray*} D_{exp(x)} >0 \end{eqnarray*}$

Was soll das sein? Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ größer 0?

Zu a) langt: Da $\begin{eqnarray*} e^x>0\quad,\; \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt auch $\begin{eqnarray*} e^x+\frac{1}{e^x}>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Damit ist der Quotient für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert.

b) Der letzte Term ist schon fast das, was du willst. Schau dir noch einmal an, was du zeigen willst.

Gruß

20.08.2009, 19:47

Eva-S

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Zitat:

Original von Romaxx
b) Der letzte Term ist schon fast das, was du willst. Schau dir noch einmal an, was du zeigen willst.

Ich glaube ich hab es ...

Jetzt nur noch Teil c) ... ist bestimmt noch schwerer...!

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{(e^x+e^{-x})(e^x+e^{-x})-(e^x-e^{-x})(e^x-e^{-x})}{(e^x+e^{-x})^2} = \frac{(e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2}{(e^x+e^{-x})^2} = \frac{(e^x+e^{-x})^2}{(e^x+e^{-x})^2} - \frac{(e^x-e^{-x})^2}{(e^x+e^{-x})^2} = 1 - \frac{(e^x-e^{-x})^2}{(e^x+e^{-x})^2} = 1 - (\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}})^2 = 1 - (f(x))^2 \end{eqnarray*}$

20.08.2009, 19:59

Romaxx

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20.08.2009, 21:00

Leopold

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Zitat:

Original von Eva-S
Jetzt nur noch Teil c) ... ist bestimmt noch schwerer...!

Verwende Teil b) und die Regel zur Ableitung der Umkehrfunktion. Dann ist das ein Einzeiler.

Übrigens: In dieser Aufgabe geht es um den Tangens hyperbolicus $\begin{eqnarray*} \tanh \end{eqnarray*}$ .

24.08.2009, 08:32

Eva-S

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Hast Du vielleicht einen Link wo ich etwas über die Regel zur Ableitung der Umkehrfunktion finden kann bzw. hat die einen bestimmten Namen wonach ich suchen kann?

24.08.2009, 11:05

sergej88

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Im Allgemeinen:

Ist f eine Differenzierbare Funktion und g Ihre Umkehrfunktion auch diffbar, dann ist:

g'(x) = 1 / f'(g(x))

de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel
ein Link dazu.

02.09.2009, 11:33

Calculus

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Ein paar Hinweise zum Definitionsbereich:
In einfachen Worten; der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge aller x-Werte, für die die Funktion definiert ist (es darf nicht durch Null dividiert werden).
Ergo ist zu prüfen, ob es ein x gibt, für welches der Nenner Null wird.
Wie?
Normalerweise setzt man den Nenner Null und ermittelt so die Definitionslücken.
Mit e-Funktionen geht das in deinem Fall aber nicht.

Andere Möglichkeit:
Bilde die Grenzwerte lim(x->+- unendlich), schaue dir die Steigung des Nenners an, was ist an der Stelle x=0 mit dem Nenner, welche Aussage lässt sich machen, wenn der Nenner stets > 0 ist, die Funktion (nur Nenner) für x<0 streng monoton fällt und für x>0 streng monoton steigt?

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