Rücksubstitution einer quadratischen Gleichung

20.08.2009, 14:44	white-rabbit	Auf diesen Beitrag antworten »
Rücksubstitution einer quadratischen Gleichung Hallo, ich habe ein Problem beim rucksubstituiere einer Gleichung. Die Aufgabe ist die Nullstellen folgender Funktion zu finden: $\begin{eqnarray} 2,6\cdot sin(x)\cdot cos(x)=0,5-sin(x)^{2} \end{eqnarray}$ Ich habe diese dann soweit umgeformt, das ich $\begin{eqnarray} sin(x)^{2}\cdot sin(x)^{4}=\frac{0,25}{7,76} \end{eqnarray}$ erhalte habe. Dann hab ich $\begin{eqnarray} x=sin(x)^2 \end{eqnarray}$ substituiert und das ganze mit der qadratischen Ergänzung gelöst. Ich erhalte dann für $\begin{eqnarray} x_1=0,9666 \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} x_2=0,0333 \end{eqnarray}$ . Jetzt muss ich das ganze ja noch rück substituieren. $\begin{eqnarray} sin(x)_1= \pm \sqrt{x_1}= \pm 0,9832 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} sin(x)_2= \pm \sqrt{x_2}= \pm 0,0333 \end{eqnarray}$ Der Wert von $\begin{eqnarray} sin(x)_2 \end{eqnarray}$ passt auch mit der Zeichnung überein. Wenn ich zu diesem Wert jetzt $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ addiere bekomme ich auch den zweiten Wert. Allerdings ist das der einzige Wert der stimmt. Gut ich kann alle anderen Werte mit einer addition von einem vielfachen von $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ berechnen, aber die anderen errechneten Nullstellen müssten doch auch stimmen? Ich wäre für einen Tipp dankbar.
20.08.2009, 17:17	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst ein Schreibfehler: In der Gleichung muß es minus statt mal heißen. Du scheinst die Gleichung durch Quadrieren gewonnen zu haben. Quadrieren ist aber keine Äquivalenzumformung. Dazu ein einfaches Beispiel: Im Intervall $\begin{eqnarray} [0,2\pi] \end{eqnarray}$ hat $\begin{eqnarray} \cos x = -1 \end{eqnarray}$ offensichtlich als einzige Lösung $\begin{eqnarray} x = \pi \end{eqnarray}$ . Und welche Lösungen hat die quadrierte Gleichung? Beim Quadrieren von Gleichungen bleiben die Lösungen erhalten, es können sich aber "falsche Lösungen" dazuschleichen. Also muß man hinterher immer die Probe machen. Dann solltest du bei einer Substitution auch eine neue Variable einführen, etwa $\begin{eqnarray} t = \sin x \end{eqnarray}$ . Und zum Schluß noch ein alternativer Vorschlag: Beachte die bekannten Beziehungen $\begin{eqnarray} \sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2} \sin (2x) \, , \ \ \ \sin^2 x = \frac{1}{2} \left( 1 - \cos (2x) \right) \end{eqnarray}$ Damit läßt sich alles schnell auf $\begin{eqnarray} \tan (2x) \end{eqnarray}$ zurückführen - und du bist aller Sorgen ledig.
21.08.2009, 09:52	white-rabbit	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort! Das mal ist natürlich ein Schreibfehler, da gehört das minus hin. Dann ist meine Lösung ja nicht die optimale, aber man könnte sie mit dem Wissen das eine der Lösungen richtig ist und einer Zeichnung benutzen? Ich werde es jetzt mal mit deinem Vorschlag versuchen.
21.08.2009, 10:48	white-rabbit	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ja viel einfacher! Also meine Lösung: $\begin{eqnarray} 2,6\cdot sin(x)\cdot cos(x)=0,5 -sin(x)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2,6\cdot \frac{1}{2} \cdot sin(2x)\cdot cos(x)=0,5 -\frac{1}{2} \cdot [1-cos(2x)] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2,6\cdot \frac{1}{2} \cdot sin(2x)\cdot cos(x)=0,5 -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot cos(2x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1,3\cdot \frac{2\cdot tan(x)}{1+tan(x)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1-tan(x)^2}{1+tan(x)^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1,3 \cdot 2\cdot tan(x)= \frac{1}{2} \cdot 1-tan(x)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1,3 \cdot \frac{2 \cdot tan(x)}{1-tan(x)^2}= \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1,3 \cdot tan(2x)= \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=\frac{arctan(\frac{5}{13})}{2}=0,1835 \end{eqnarray}$ Das wären dann 10,51°. Wenn ich jetzt immer $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ dazu addiere komme ich auf die gesuchten Werte. 10,51° 100,51° 190,51° Diese Werte stimmen auch mit der Zeichnung überein.
21.08.2009, 11:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Was macht denn der Cosinus in der zweiten Zeile deiner Rechnung? Da stimmt etwas nicht. Man erhält ja sofort: $\begin{eqnarray} 2{,}6 \cdot \frac{1}{2} \sin (2x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \left( 1 - \cos (2x) \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1{,}3 \sin (2x) = \frac{1}{2} \cos (2x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tan (2x) = \frac{5}{13} \end{eqnarray}$
21.08.2009, 13:00	white-rabbit	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry der gehört da auch gar nicht hin! Hab das beim kontrollieren überlesen, auf meinem Blatt war das richtig. Danke für die Hilfe bei der Aufgabe.
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