Erwartungswert

21.09.2006, 20:56

Sephiroth

Erwartungswert

hallo ich soll zeigen...

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~P(X > k) = E(X) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X \in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$

für die geometrische Verteilung ist das nicht schwer zu zeigen aber allgemein da führen bei mir alle Ansätze und Umformungen die ich kenne ins Leere...
vielleicht habt ihr ja einen passenden Anfang für mich smile

21.09.2006, 21:12

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$\begin{eqnarray*} X \in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ soll wohl andeuten, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nur natürliche Zahlen annehmen kann. In dem Fall kannst du

$\begin{eqnarray*} P(X>k) = \sum\limits_{m=k+1}^{\infty} ~ P(X=m) \end{eqnarray*}$

schreiben, in $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~P(X > k) \end{eqnarray*}$ eingesetzt wird das eine Doppelsumme. Und bei der vertausch mal die Summationsreihenfolge, wobei du natürlich sorgfältig auf die richtigen Summationsgrenzen achten musst.

21.09.2006, 21:40

Sephiroth

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na ja jetzt seh ich es zwar...
kann es aber nur informell erklären... was ich ja schon mal nicht schlecht find smile

P(X = 1) + P(X = 2) + .... +P(X = i) + ......+
P(X = 2) + P(X = 3) +......+P(X = i) +.......+
P(X = 3) + P(X = 4) +.....+P(X = i) +.......+
.
.
.
.
= P(X = 1) + 2*P(X = 2) + 3*P(X = 3) + ........ = E(X)

wie hast du dir das formeller gedacht?

21.09.2006, 21:50

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Hab ich doch geschrieben:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Und bei der vertausch mal die Summationsreihenfolge,

In Formeln:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~ \sum\limits_{m=k+1}^{\infty} P(X=m) = \sum\limits_{m=1}^{\infty} ~ \sum_{k=0}^{m-1} P(X=m) \end{eqnarray*}$

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