Vektorfeld mit Potential ohne Integrabilitätsbedingung

20.08.2009, 21:03

Chrissi1980

Vektorfeld mit Potential ohne Integrabilitätsbedingung

Hallo liebe Mathefreunde!

Ich bin neu hier und dies ist mein Problem mit dem ich mich zur Zeit beschäftige:

Zeige, dass das folgende Vektorfeld ein Potential besitzt und berechne dies:

$\begin{eqnarray*} \vec{F}: \mathbb R \times \mathbb R+ \Rightarrow \mathbb R^2, \vec{F} (x,y):= \frac{1}{x^2+y^2} \begin{pmatrix} x+y \\ y-x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Einschränkung y>0

Ich habe versucht die Integrabilitätsbedingung aufzustellen aber bei mir passt es nicht...

Wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte,

LG Chrissi1980

20.08.2009, 23:08

frank09

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offenbar gilt ja:

$\begin{eqnarray*} \vec{F_x}=\frac{x}{x^2+y^2}+ \frac{y}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{F_y}=\frac{y}{x^2+y^2}- \frac{x}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

Bestimme zu jedem Summanden die entsprechende Stammfunktion nach der jeweiligen Koordinate und dann vergleiche. Tip: ln + arctan

21.08.2009, 08:39

Chrissi1980

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Okay danke bis jetzt schonmal, jetzt habe ich das Potential bekommen, aber ich kann mir nicht erklären warum die Integrabilitätsbedingung nicht erfüllt wird?! Weil die Integrabelitätsbedingung doch als Notwendigeit für ein Potential angesehen wird!

Die Ableitungen des Gradientenfelds sind bei mir:

$\begin{eqnarray*} \frac{dfx}{dy} = \frac{x^2-y^2-2xy}{(x^2+y^2)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dfy}{dx} = \frac{-x^2-3y^2+2xy}{(x^2+y^2)^2} \end{eqnarray*}$

Das heißt: $\begin{eqnarray*} \frac{dfy}{dx} \neq \frac{dfx}{dy} \end{eqnarray*}$

Die Potentialfkt lautet für alle die es interessiert:

F(x,y)= 1/2 ln(x^2+y^2) + arctan(x/y) + C , y>0

LG und vielen Dank im voraus,
Chrissi1980

21.08.2009, 09:00

wogir

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Zitat:

Original von Chrissi1980
$\begin{eqnarray*} \frac{dfy}{dx} = \frac{-x^2-3y^2+2xy}{(x^2+y^2)^2} \end{eqnarray*}$

solltest du nochmal überprüfen.

21.08.2009, 09:14

Leopold

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Hinweis: Zwischen der reellen Differentialform

$\begin{eqnarray*} \eta = \frac{x+y}{x^2 + y^2}~\dd x + \frac{y-x}{x^2 + y^2}~\dd y \end{eqnarray*}$

und der komplexen

$\begin{eqnarray*} \omega = \frac{1 + \operatorname{i}}{z}~\dd z \end{eqnarray*}$

besteht der Zusammenhang

$\begin{eqnarray*} \eta = \operatorname{Re}(\omega) \end{eqnarray*}$

Die obere Halbebene $\begin{eqnarray*} y>0 \end{eqnarray*}$ ist einfach zusammenhängend und $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ holomorph. Folglich ist $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} y>0 \end{eqnarray*}$ auch exakt. Dein $\begin{eqnarray*} F(x,y) \end{eqnarray*}$ ist also bis auf eine additive Konstante nichts anderes als der Realteil von $\begin{eqnarray*} (1 + \operatorname{i}) \log z \end{eqnarray*}$ .

21.08.2009, 09:52

Chrissi1980

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Danke an alle, die Integrabilitätsbedingung ist doch erfüllt, obwohl ich dies gestern mehrmals überprüft hatte, muß wohl am warmen wetter gelegen haben!

Weiterhin finde ich es prima das mir so schnell geholfen wurde! Werde diese Seite weiter empfehlen und gelegendlich mal schauen ob ich ein paar gute Ratschläge geben kann, danke!!!

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