Restgliedabschätzung Taylorpolynom

21.08.2009, 17:42	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Restgliedabschätzung Taylorpolynom Bestimmen Sie das Taylor-Polynom 2. Grades von $\begin{eqnarray} f(x)=2+e^{-x}sin(x) \end{eqnarray}$ mit dem Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie weiter, dass der Approximationsfehler auf dem Intervall $\begin{eqnarray} [-\frac{1}{10}, \frac{1}{10}] \end{eqnarray}$ kleiner als $\begin{eqnarray} \frac{1}{500} \end{eqnarray}$ ist. Meine Ableitungen $\begin{eqnarray} f'(x)= e^{-x} (cos(x)-sin(x)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x)= -2e^{-x} cos(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'''(x)=2e^{-x}(cos (x)+sin(x)) \end{eqnarray}$ Mein Taylor-Polynom sieht damit so aus: $\begin{eqnarray} T_2(f,0)(x)=2+x-x^2 \end{eqnarray}$ Da wir vom Taylor-Polynom 2. Ordnung sprechen gilt für das Restglied: $\begin{eqnarray} \|R_2(f,0)(x)\|=\|\frac{f'''(a)}{6} \cdot x^3\| = \|\frac{f'''(a)}{6}\| \cdot\|x^3\| \end{eqnarray}$ mit einem x aus dem Intervall und einem a zwischen x und dem Entwicklungspunkt. Jetzt möchte ich zeigen dass der Fehler vom Betrag her kleiner als $\begin{eqnarray} \frac{1}{500} \end{eqnarray}$ ist, also möchte ich x und a so wählen dass der Betrag maximal wird. Ist dies der Fall und dieser ist kleiner als $\begin{eqnarray} \frac{1}{500} \end{eqnarray}$ , habe ich auch den zweiten Teil gelöst. Wenn ich das bisher falsch verstanden habe bitte sagen.... Da wir vom Betrag sprechen spielt es keine Rolle ob x nun die linke oder rechte Intervallgrenze ist. Also suche ich noch ein a, so dass der erste Betrag maximal wird. Ich persönlich hätte jetzt a=0 gewählt, weil ich nicht geahnt/gewusst hätte dass $\begin{eqnarray} e^{-(-\frac{1}{10})} \end{eqnarray}$ doch ein bisschen größer ist als $\begin{eqnarray} e^{0} \end{eqnarray}$ . Darüber hinaus wüsste ich dann auch nicht wie man weiter mit (cos(a)+sin(a)) umgeht, wenn man einen solchen Wert einsetzt. Was ist denn eine sinnvolle Abschätzung von cos(a)+sin(a) ?
21.08.2009, 18:08	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
\|cos(x) + sin(x)\| <= 1 + 1 da die ja nach oben beschränkt sind.
22.08.2009, 05:08	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das macht Sinn. Mir geistert(e) nur immer im Kopf rum das sin(x)+cos(x) doch eigentlich nie die 2 erreichen können (oder doch?) und man daher eine niedrigere Abschätzung machen müsste.
22.08.2009, 11:43	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
ja. du kannst ja auch das maximum der Funktion berrechnen. und diese dann damit abschätzen... mfg.
22.08.2009, 11:46	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Aber in Anbetracht der Tatsache dass ich ja nur zeigen soll dass das Restglied absolut betrachtet einen Wert nicht überschreitet wird es diesen ja auch bei bestmöglicher Abschätzung nicht erreichen, wenn es diesen bei einer "zu hohen" Abschätzung nicht erreicht. Ich hoffe du verstehst was ich meine ;-)
22.08.2009, 12:07	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
ähm wenn ich dich richtig verstanden habe dann ja. wenn es bei der abschätzung 2 schon klappt, dann ist ja alles ok. deshalb mach erstmal dann sieht man weiter. mfg.
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22.08.2009, 13:10	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich denke wir meinen das gleiche :-) Beispiel: a+b<c Wenn a+b < c schon erfüllt ist mit a+b nach oben abgeschätzt mit a+b=2 dann ist die Abschätzung ja schon erfüllt wenn a+b praktisch die 2 nie erreichen wird.

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