Taylor und Restglied auf Konvergenz überprüfen.

22.08.2009, 12:52

inseljohn

Taylor und Restglied auf Konvergenz überprüfen.

Hallo,

bin da gerad bei einer Aufgabe wo ich nciht so recht weiterkomme.
Die Aufgabenstellung lautet wie folg:

Bestimmen sie von der folgenden Funktion das Taylorpolynom pn Stellen Sie die Taylorsche Formel für diese Funktion auf und untersuchen Sie das LAgrangesche Restglied auf Konvergenz im jeweilige Definitionsbereich

f(x) = ln x für $\begin{eqnarray*} 0<x\leq 2 \end{eqnarray*}$ x0=1

so, jetzt bin ich da erstma nach Kochrezept vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} f(x)= ln x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{-1}{x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=\frac{2}{x^3} \end{eqnarray*}$

und dann geht es auch schon los. woher soll ich jetzt aus der Aufgabenstellung wissen, bis wo ich ableiten muss?
Na ja, hab dann einfach erstma weiter gemacht und x0=1 erstma überall eingesetzt.

dann erhalte ich für
$\begin{eqnarray*} f(1)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(1)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(1)=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(1)=2 \end{eqnarray*}$

so, ab jetzt hab ich keine ahnung wie ich weitermachen soll unglücklich

ich hab zwar das ergebnis, aber irgendwie kann ich das net so ganz nachvollziehen. irgendwie schreiben die das da in allgemeiner form.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(-1)^{(k+1)} \frac{(x-1)^k }{k} \end{eqnarray*}$

und bei der Restgliedabschätzung habe ich auch nicht wirklich einen Ansatz! unglücklich

Hoffe, jemand von euch kann mir da helfen..

danke schon mal und lg,
inseljohn

22.08.2009, 13:19

inseljohn

Auf diesen Beitrag antworten »

ahh, mensch...
ok, kann die lösung

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(-1)^{(k+1)} \frac{(x-1)^k}{k} \end{eqnarray*}$

jetzt zu 100% nachvollziehen...

jetzt scheitert es lediglich noch beim 2. aufgabenteil... unglücklich

das mit dem Restglied bekomm ich irgendwie bei keiner aufgabe hin..

22.08.2009, 13:21

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Taylor und Restglied auf Konvergenz überprüfen.

Zitat:

Original von inseljohn
so, jetzt bin ich da erstma nach Kochrezept vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} f(x)= ln x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{-1}{x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=\frac{2}{x^3} \end{eqnarray*}$

und dann geht es auch schon los. woher soll ich jetzt aus der Aufgabenstellung wissen, bis wo ich ableiten muss?

Kannst du die Formel für die k-te Ableitung hinschreiben und ggf. durch Induktion beweisen? Das wäre eine Möglichkeit für den nächsten Schritt.

Grüße Abakus smile

zum Restglied: wie sähe das denn aus?

22.08.2009, 15:26

inseljohn

Auf diesen Beitrag antworten »

moin,

was meinst du jetzt damit?
die allgemeine form? oder das ergebnis?

das mach ich doch mit diesem lagrangesches resglied oder?

$\begin{eqnarray*} Rn(x)=\frac{f^{(n+1)}*(c)}{(n+1)!}*(x-xo)^{(n+1)} \end{eqnarray*}$

kann das aber irgendwie gerade nicht so wirklich anwenden unglücklich

sorry, das is für mich noch alles neu. beschäftige mich erst seit wenigen Tagen damit.

gruß,
inseljohn

22.08.2009, 16:00

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von inseljohn
das mach ich doch mit diesem lagrangesches resglied oder?

$\begin{eqnarray*} Rn(x)=\frac{f^{(n+1)}*(c)}{(n+1)!}*(x-xo)^{(n+1)} \end{eqnarray*}$

Ja ok, das ist die allgemeine Form. Jetzt setze einmal ein, was du schon kennst für deine Reihe.

Grüße Abakus smile

22.08.2009, 16:58

inseljohn

Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm.....da stoß ich ja schon an meine grenzen Augenzwinkern

eigentlich kenne ich nur nur den entwicklungspunkt oder?
x0=1

$\begin{eqnarray*} Rn(x)=\frac{f^{(n+1)}*(c)}{(n+1)!}*(-1)^{(n+1)} \end{eqnarray*}$

ohhh, eigentlich mag ich mathe ja, aber bei sowas könnte ich durchdrehen :P

22.08.2009, 20:00

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von inseljohn
eigentlich kenne ich nur nur den entwicklungspunkt oder?
x0=1

$\begin{eqnarray*} Rn(x)=\frac{f^{(n+1)}*(c)}{(n+1)!}*(-1)^{(n+1)} \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} x_0 = 1 \end{eqnarray*}$ ist der Entwicklungspunkt, das in die Formel eingesetzt ergibt:

$\begin{eqnarray*} R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} \cdot (x-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Die (n+1)-erste Ableitung kennst du, diese auch noch eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} R_n(x) = \frac{(-1)^{n+2} \cdot n!}{c^{n+1}} \cdot \frac{1}{(n+1)!} \cdot (x-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Das lässt sich vereinfachen. Zudem weißt du: $\begin{eqnarray*} x \in ]0, 2[ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ liegt zwischen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Damit kannst du nun versuchen, das Restglied abzuschätzen.

Grüße Abakus smile

23.08.2009, 12:49

inseljohn

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

wow. danke dafür. aber was meinst du mit (n+1) erste ableitung. raff gerad noch nicht so ganz wie du auf die ganzen eingesetzen dinger kommst unglücklich

sorry

23.08.2009, 14:22

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von inseljohn
Hey,

wow. danke dafür. aber was meinst du mit (n+1) erste ableitung. raff gerad noch nicht so ganz wie du auf die ganzen eingesetzen dinger kommst unglücklich

sorry

Gemeint ist die (n+1)-ste Ableitung, dh. (n+1)-mal ableiten (ich hab es zweifelhaft ausgedrückt, entschuldige). Diese hast du weiter oben schon versucht zu berechnen, vielleicht solltest du das zunächst mal hier explizit tun.

In diese ist nur c eingesetzt worden: $\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(c) \end{eqnarray*}$ bedeutet doch, die (n+1)-ste Ableitung berechnen und dann c einsetzen.

Grüße Abakus smile

23.08.2009, 14:42

inseljohn

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Diese hast du weiter oben schon versucht zu berechnen, vielleicht solltest du das zunächst mal hier explizit tun.

ah, ok. ich verstehe jetzt die vorgehensweise. Jedoch ist mir noch unklar wie ich du das mit der (n+1) mal ableiten meinst unglücklich

wo hab ich das denn vorher schon versucht verwirrt

war mir gar nicht bewusst... Big Laugh

Neue Frage »

Antworten »

Taylor und Restglied auf Konvergenz überprüfen.

Verwandte Themen