Hochpunkt Poisson/Binomialverteilung

21.09.2006, 22:35	Sephiroth	Auf diesen Beitrag antworten »
Hochpunkt Poisson/Binomialverteilung hallo würde gerne zeigen dass die genannten Funktionen/Verteilungen unimodal sind also das es ein x gibt das P(X = x) maximal ist... na ihr wisst was ich mein. Hatte mir zuerst überlegt abzuleiten normal aber das geht ja nicht wegen dem Fakultät das sich in der Formel befindet...
21.09.2006, 22:46	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hochpunkt Poisson/Binomialverteilung Unimodal heißt ja soviel wie eingipflig. Wenn du nur zeigst, dass es einen größten Wert gibt, schließt du andere (kleinere) Gipfel ja nicht aus. Meine Idee wäre ein Monotonieargument. Bei geeigneter Monotonie (steigend und dann fallend) sind weitere Gipfel nicht möglich. Grüße Abakus
21.09.2006, 22:49	Sephiroth	Auf diesen Beitrag antworten »
ok aber das ist wohl auch nicht einfacher mit Ableitung wie gesagt ist da wohl nix zu machen... also kleiner Hinweis
21.09.2006, 23:16	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehmen wir die Binomialverteilung: Da ist $\begin{eqnarray} P(X=k) = \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} \end{eqnarray}$ Da berechne mal den Quotienten $\begin{eqnarray} q_k:=\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)} \end{eqnarray}$ : Dieser Quotient ist für kleine $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ zunächst >1, solange wächst die Folge dieser Wahrscheinlichkeiten. An irgendeinem Punkt $\begin{eqnarray} k^ \end{eqnarray}$ gilt erstmalig $\begin{eqnarray} q_{k^}\leq 1 \end{eqnarray}$ , d.h. eins vorher noch $\begin{eqnarray} q_{k^-1}>1 \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} P(X=k^) \end{eqnarray}$ der Maximalwert der Wahrscheinlichkeiten. Und $\begin{eqnarray} q_k \end{eqnarray}$ hat nach dem Kürzen eine sehr, sehr einfache Gestalt. Bei der Hypergeometrischen Verteilung funktioniert das ganz analog. EDIT: ... ähem, wie komme ich jetzt auf "hypergeometrisch"? Ja, bei der klappt es so, und bei Poisson zudem auch noch.
22.09.2006, 18:33	GastSephiroth	Auf diesen Beitrag antworten »
was versteh ich denn nu scho wieder falsch bei der Binomialverteilung erhalte ich doch.... $\begin{eqnarray} q(k) = \frac{p(n-k)}{(k+1)q} \end{eqnarray}$ als Ableitung erhalte ich $\begin{eqnarray} \frac{dq(k)}{dk} = \frac{-p(n+1)}{q(k+1)^2} \end{eqnarray}$ und das ist doch keine Funktion mit Nullstellen und somit hat q(k) keinen Extremwert usw...

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »