Berechnung der Koordinatengleichung der Ebene E und andere Fragen

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Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung der Koordinatengleichung der Ebene E und andere Fragen
Hallo,

ich habe ein Problem mit einer Aufgabe. Ich schreib einfach mal die ganzen Werte auf, damit es ein wenig schneller geht.

A (5,5 | 3 | -2)
B (0,5 | 3 | -2)
C (0,5 | 0 | 2)

U (3 | 5,5 | 3)
V (3 | 9,5 | 6)

Die erste Aufgabe lautet, dass man eine Koordinatengleichung aufstellen soll, in der die Punkte A, B und C liegen.

Als erstes habe ich Ebene in die Parameterform dargestellt, da ich das nur kann.

E: x = ( 5,5 | 3 | -2 ) + r*( 5 | 0 | 0 ) + s*( -5 | -3 | 4 )

Habe ich hier alles richtig gemacht?

Aus der Parameterform habe ich versucht dieses in die Koordinatenform umzuwandeln. Dafür habe ich zuerst n ausgerechnet. Das ist bei mir rausgekommen:

n = ( 0 | -20 | -15 )

Bei d ist das rausgekommen:

d = -30

Als Endergebnis ist bei mir diese Gleichung rausgekommen:

E: 0x – 20y – 15z = -30

Ist das richtig? Ich hoffe, dass ihr mir hier helfen könnt.

MfG
Geiermann
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung der Koordinatengleichung der Ebene E und andere Fragen
Stimmt alles.

Grüße Abakus smile
Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »

Puuh ... da bin ich aber erleichtert, dass ich wenigstens das richtig habe.

Kommen wir nun zur nächsten Frage und zwar muss ich nun die Lage dieser Ebene beschreiben. Was muss ich darunter verstehen? Was muss man hier rechnerisch machen? Hat es vielleicht mit der nächsten Aufgabe zu tun die lautet, dass man eine Gleichung für g aufstellen muss? Auch hier weiß ich nicht, was ich tun soll.

Ich bitte nochmals um Hilfe.

edit: Achja, es handelt sich bei dieser Aufgabe um eine Doppelpyramide, falls man es nicht anhand der Werte erkennen kann.

MfG
Geiermann
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Geiermann
Kommen wir nun zur nächsten Frage und zwar muss ich nun die Lage dieser Ebene beschreiben. Was muss ich darunter verstehen? Was muss man hier rechnerisch machen? Hat es vielleicht mit der nächsten Aufgabe zu tun die lautet, dass man eine Gleichung für g aufstellen muss? Auch hier weiß ich nicht, was ich tun soll.


Du könntest zB den Abstand der Ebene zum Ursprung oder zu U und V ermitteln. Wie liegt die Ebene zu den 3 Grundebenen, ist sie etwa zu einer parallel? Auch ist interessant, ob U und V auf verschiedenen Seiten der Ebene liegen oder nicht (oder gar in der Ebene selbst?). Steht die Gerade durch U und V auf der Ebene senkrecht? Naja usw.

Grüße Abakus smile

edit: Text ergänzt
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

man könnte auch noch schreiben:



und nun überlege, was es bedeutet, wenn gilt:
die x-koordinate ist egal smile

wo ist die (doppel)pyramide verwirrt
Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
und nun überlege, was es bedeutet, wenn gilt: die x-koordinate ist egal

Sorry, aber ich kann damit jetzt nicht viel anfangen. Habs mal in einen Programm eingegeben. Konnte da nur feststellen, dass die Ebene die x-leiste nicht schneidet, weiß aber nicht, ob das gemeint ist.

Zitat:
Original von Abakus
Du könntest zB den Abstand der Ebene zum Ursprung oder zu U und V ermitteln.

Wie man den Abstand zwichen einen Punkt und einer Ebene berechnet weiß nicht wirklich. Macht man das vielleicht mir der Hessesche Normalform? Mit der kenn ich mich nicht wirklich aus und würde gerene wissen, wie man die herleitet, mit dem was ich schon vorher gerechnet habe.

Wie man sehen kann, brauch ich noch etwas Hilfe (mit den anderen Fragen kann ich übrigens auch nichts anfangen). Am wichtigsten für mich im Moment ist aber, wie man den Abstand von einen Punkt und einer Ebene berechnet, da es hierfür bestimmt viele Punkte gibt.

Übrigens, ich habe mal versucht eine Gerade aufzustellen, die durch die Punkte U und V geht und das ist bei mir rausgekommen:

g: ( 3 | 9,5 | 6 ) + s*( 0 | -4 | -3 )

Ist das korrekt? Kann man mit dieser Schreibweise was anfangen oder wäre eine andere besser? Wenn ja welche?

Schon mal Danke, dass ihr mir helft.

MfG
Geiermann
 
 
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Geiermann
Zitat:
und nun überlege, was es bedeutet, wenn gilt: die x-koordinate ist egal

Sorry, aber ich kann damit jetzt nicht viel anfangen. Habs mal in einen Programm eingegeben. Konnte da nur feststellen, dass die Ebene die x-leiste nicht schneidet, weiß aber nicht, ob das gemeint ist.


Ja, Stichwort: Parallelität.

Zitat:
Zitat:
Original von Abakus
Du könntest zB den Abstand der Ebene zum Ursprung oder zu U und V ermitteln.

Wie man den Abstand zwichen einen Punkt und einer Ebene berechnet weiß nicht wirklich. Macht man das vielleicht mir der Hessesche Normalform? Mit der kenn ich mich nicht wirklich aus und würde gerene wissen, wie man die herleitet, mit dem was ich schon vorher gerechnet habe.

Wie man sehen kann, brauch ich noch etwas Hilfe (mit den anderen Fragen kann ich übrigens auch nichts anfangen). Am wichtigsten für mich im Moment ist aber, wie man den Abstand von einen Punkt und einer Ebene berechnet, da es hierfür bestimmt viele Punkte gibt.


Ja, das geht mit der HNF, siehe hier: Hesse'sche Normalenform (Wiki)

Zitat:
Übrigens, ich habe mal versucht eine Gerade aufzustellen, die durch die Punkte U und V geht und das ist bei mir rausgekommen:

g: ( 3 | 9,5 | 6 ) + s*( 0 | -4 | -3 )

Ist das korrekt? Kann man mit dieser Schreibweise was anfangen oder wäre eine andere besser? Wenn ja welche?


Erstmal korrekt. Die Schreibweise finde ich ok.

Grüße Abakus smile
Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abakus
Ja, Stichwort: Parallelität.

Hmmm ... wenn das so ist. Reicht es dann hier einfach, dass die Ebene E parallel zur x-Achse verläuft, da a = 0 ist?

Außerdem habe ich ausgerechnet, dass die Punkte A, B, C (und auch D) auf der Ebene liegen, da dort immer 6 rauskommt. Bei U und V kommt ist das größer als 6, also müssen diese Punkte außerhalb der Ebene liegen. Und ich habe noch, dass die Ebene die y- und z-Achse schneidet, da b und c ungleich 0 sind.

Ich habe ebenfalls versucht die Paramatergleichung gleich einen Punkt (hier U) zu setzen:

( 3 | 5,5 | 3 ) = ( 5,5 | 3 | -2 ) + r*( 5 | 0 | 0 )+ s*( -5 | -3 | 4 )

Ergebnis:
- 5/6 = s
-1/3 = r
3 = -16/3 = U liegt nicht auf der Ebene

Ist das so richtig? Das Ergebnis stimmt zwar, dass es nicht auf der Ebene liegt, aber die Zahlen finde ich etwas komisch. Hat dieses Rechnung überhaupt einen Sinn wie ich es gemacht habe? Ist doch viel umständlicher als wenn man die Koordinaten in der Koordinatenform einsetzt oder ist es was ganz anderes?

Was ist ein wenig merkwürdig finde ist, dass die U und V sehr nah beianander liegen, aber ich seh in der Grafik nicht, wie daraus eine Doppelpyramide wird. Wie kann das sein?

Zitat:
[quote]Original von Abakus
Ja, das geht mit der HNF, siehe hier: Hesse'sche Normalenform (Wiki)

Irgendwie kann ich mit den mathematischen Wikipediaartilkel nie was anfangen. Wie genau leitet man die HNF ab? Ich göain, dass geht über die Normalform, aber wie genau geht die?

Ich habe folgendes probiert:

E: ( x - ( 5,5 | 3 | -2 ) ) * ( 0 | -20 | -15 ) = 0

Ist das überhaupt die Normalform? Ich glaub nämliich, dass ich irgendein Beispiel genommen habe, das sich nicht wirklich bei meienr übertragen lässt. Zum Beispiel weiß ich nicht, was ein Stützvektor ist. Ich habe da einfach mal den Punkt A genommen, aber ich denke. dass es der Ortsvektor. Und ist das Ergebnis immer 0?

MfG
Geiermann
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Geiermann
Zitat:
Original von Abakus
Ja, Stichwort: Parallelität.

Hmmm ... wenn das so ist. Reicht es dann hier einfach, dass die Ebene E parallel zur x-Achse verläuft, da a = 0 ist?

Außerdem habe ich ausgerechnet, dass die Punkte A, B, C (und auch D) auf der Ebene liegen, da dort immer 6 rauskommt. Bei U und V kommt ist das größer als 6, also müssen diese Punkte außerhalb der Ebene liegen. Und ich habe noch, dass die Ebene die y- und z-Achse schneidet, da b und c ungleich 0 sind.


Was ist D? Die Koordinaten kennen wir noch nicht. Ansonsten ist das ok.

Zitat:
Ich habe ebenfalls versucht die Paramatergleichung gleich einen Punkt (hier U) zu setzen:

( 3 | 5,5 | 3 ) = ( 5,5 | 3 | -2 ) + r*( 5 | 0 | 0 )+ s*( -5 | -3 | 4 )

Ergebnis:
- 5/6 = s
-1/3 = r
3 = -16/3 = U liegt nicht auf der Ebene

Ist das so richtig? Das Ergebnis stimmt zwar, dass es nicht auf der Ebene liegt, aber die Zahlen finde ich etwas komisch. Hat dieses Rechnung überhaupt einen Sinn wie ich es gemacht habe? Ist doch viel umständlicher als wenn man die Koordinaten in der Koordinatenform einsetzt oder ist es was ganz anderes?


Es geht wohl so, aber dass U und V nicht in der Ebene liegen, wissen wir ja schon durch Einsetzen in die Normalenform. Und ja, es so zu rechnen ist umständlicher.

Zitat:
Was ist ein wenig merkwürdig finde ist, dass die U und V sehr nah beianander liegen, aber ich seh in der Grafik nicht, wie daraus eine Doppelpyramide wird. Wie kann das sein?


Der Abstand von U und V ist 5? Die Doppelpyramide sehe ich auch noch nicht, vielmehr scheinen U und V auf derselben Seite der Ebene zu liegen. Aber da spielt D ja vielleicht eine Rolle, welche Punkte sollen die Doppelpyramide überhaupt erstmal bilden?

Zitat:
Irgendwie kann ich mit den mathematischen Wikipediaartilkel nie was anfangen. Wie genau leitet man die HNF ab? Ich göain, dass geht über die Normalform, aber wie genau geht die?


Du hast ja schon die Normalenform. Der einzige Unterschied ist jetzt nur die Normierung des Normalenvektors auf die Länge 1.

Du hast das hier von riwe:

Zitat:
man könnte auch noch schreiben:


Die Normalenform ist also:



Jetzt noch normieren.

Grüße Abakus smile
Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abakus
Was ist D? Die Koordinaten kennen wir noch nicht. Ansonsten ist das ok.

Oh, D musste man bei einer Aufgabe davor ausrechnen. Die Koordinaten lauten D ( 5,5 | 0 | 2 ). Ich glaube erst jetzt wird die Doppelpyramide erkennbar, entschuldigung, wenn es unklar war.

Zitat:

Der Abstand von U und V ist 5? Die Doppelpyramide sehe ich auch noch nicht, vielmehr scheinen U und V auf derselben Seite der Ebene zu liegen. Aber da spielt D ja vielleicht eine Rolle, welche Punkte sollen die Doppelpyramide überhaupt erstmal bilden?

Die im ersten post genannten und D ... glaube ich zumindest. Kann aber auch sein, dass die Doppelpyramide erst in den nächsten Aufgaben sichtbar wird.

Zitat:

Die Normalenform ist also:



Jetzt noch normieren.

... Wie genau normiert man das denn jetzt? Ich habe mal den Betrag vom Normalenvektor ausgerechnet und es kommt dort 5 raus. Lautet dann die HNF so?:



Fehlt da nicht etwa? Was habe ich hier vergessen?

MfG
Geiermann
Kopfrechner Auf diesen Beitrag antworten »



... Wie genau normiert man das denn jetzt? Ich habe mal den Betrag vom Normalenvektor ausgerechnet und es kommt dort 5 raus. Lautet dann die HNF so?:

Nein, genau anders herum: Durch 5 dividieren, dann hat der Normalenvektor nicht mehr den Betrag 5, sondern 1!

Also
Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kopfrechner
Nein, genau anders herum: Durch 5 dividieren, dann hat der Normalenvektor nicht mehr den Betrag 5, sondern 1!

Also


Oh ... ich hab mal was im meinen Schulbuch gesehen. Kann es auch so aussehen in der Koordinatenform:



Wie kann man damit nun den Abstand messen zwichen einen Punkt und einer Ebene? Muss man einfach die Koordinaten des Punktes in x, y und z einsetzen? Warum ist die Gleichung gleich 0? Was hat es mit den Abstand zu tun?

edit: ausgerechnet habe ich für U einen Abstand von 5 und für V einen von 10. Richtig so?

MfG
Geiermann
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Oh ... ich hab mal was im meinen Schulbuch gesehen. Kann es auch so aussehen in der Koordinatenform:



Wie kann man damit nun den Abstand messen zwichen einen Punkt und einer Ebene? Muss man einfach die Koordinaten des Punktes in x, y und z einsetzen? Warum ist die Gleichung gleich 0? Was hat es mit den Abstand zu tun?

edit: ausgerechnet habe ich für U einen Abstand von 5 und für V einen von 10. Richtig so?


Ja; allerdings wird die HNF eben mit Skalarprodukt geschrieben:



Den Abstand eines Punktes zur Ebene kannst du ausrechnen, indem du den Ortsvektor einfach in die HNF einsetzt. Das scheinst du allerdings schon gemacht zu haben: deine Abstände von U und V sind korrekt.

Grüße Abakus smile
Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abakus
Ja; allerdings wird die HNF eben mit Skalarprodukt geschrieben:




Also ist es ohne Skalarprodukt keine HNF? Was hat es denn für einen Vorteil, wenn man es mit Skalarprodukt macht? Bei welchen Aufgaben muss man es machen oder ist es egal?

Die nächste Aufgabe lautet, dass man den Schnittpunkt von der Gerade G und der Ebene E bestimmen muss. Was muss man hier machen?

MfG
Geiermann
Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung für den Doppelpost, aber die Editierzeit ist abgelaufen und muss mitteilen, dass ich die Aufgabe gelöst habe. Hab für s den Wert 2 rausgekommen und das in die Geradengleichung eingesetzt ergibt den Schnittpunkt S ( 3 | 1.5 | 0 ).

Kommen wir nun zur letzten Aufgabe dieser Teilaufgabe und zwar muss man hier den Mittelpunkt des Quadrates ABCD bestimen. Hab hier zuerst gedacht, das ich die Gerade AC und BD gleichsetze, um deren Schnittpunkt zu bekommen, aber geht es auch leichter? Gibt es vielleicht noch einen anderen Weg, wenn ja welcher?

Mir ist auch aufgefallen, dass der Mittelpunkt gleichzeitig der Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene. Wie beweist man es?

MfG
Geiermann
Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, mir ist es etwas unangenehm, dass ich jetzt einen Dreifachpost mache, aber ich bin leider dazu gezwungen (kann man nicht die Editierzeit um 1 Tag verlängern?).

Hab den Mittelpunkt berechnet, indem den Mittelwert der Koordinaten AC und BD genommen habe und als Ergebnis bekam ich dasselbe raus wie bei der vorherign Aufgabe.

Hier nun der nächste Aufgabenteil, der sich mit der Konstruktion der Doppelpyramide beschäftigt. Als erstes muss man aber zeigen, dass die Gerade g orthogonal zur Ebene E ist. Wie geht denn das? Ich hab mal mit einen Programm den Winkel zwichen der Ebene und der Gerade berechnet, dort kam aber 1,57 raus. Muss da nicht 90 rauskommen? Wie kommt man denn rechnerisch auf diesen Wert?

MfG
Geiermann
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Geiermann
Hier nun der nächste Aufgabenteil, der sich mit der Konstruktion der Doppelpyramide beschäftigt. Als erstes muss man aber zeigen, dass die Gerade g orthogonal zur Ebene E ist. Wie geht denn das? Ich hab mal mit einen Programm den Winkel zwichen der Ebene und der Gerade berechnet, dort kam aber 1,57 raus. Muss da nicht 90 rauskommen? Wie kommt man denn rechnerisch auf diesen Wert?


Dein 1,57 ist vermutlich Bogenmaß und gleich , das würde 90° entsprechen.

Die Gerade steht auf der Ebene senkrecht, wenn der Richtungsvektor zu beiden aufspannenden Vektoren orthogonal ist. Letzteres kannst du mit dem Skalarprodukt prüfen.

Dein Schnittpunkt Gerade - Ebene ist ok. Den Unterschied zwischen HNF und Koordinatenform kannst du dir selbst überlegen: einmal siehst du sofort den orthogonalen Vektor, einmal kannst du vielleicht besser Punkte einsetzen oder zB Spurpunkte/-geraden o.ä. berechnen.

Grüße Abakus smile

PS: 3 Posts nacheinander (jeder mit neuen Ergebnissen) sind unter diesen Umständen schon ok, denke ich
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