Abbildung vom Dualraum in den Dualraum

23.08.2009, 02:35

man2001

Abbildung vom Dualraum in den Dualraum

Hallo,
sei X ein Banachraum
X' der Dualraum
T:X'-->X'

T(x')(x) = 0 für alle x' aus X'

es gibt aber ein y' in X' für das y'(x) nicht gleich 0 ist.

daraus soll jetzt folgen, dass das Bild von T nicht dicht in X' liegt.

Ich verstehe das nicht. Wie folgt das?
Ok kalr das y' nicht im Bild von T liegt, aber es kann doch im Abschluss des Bildes liegen, oder?
Könnt ihr mir helfen das einzusehn?

schonmal Danke

23.08.2009, 02:52

WebFritzi

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Aus dem Satz von Hahn-Banach folgt

$\begin{eqnarray*} \|x\| = \sup\{|x'(x)| : x'\in X',\,\|x'\|=1\}. \end{eqnarray*}$

Vielleicht bringt dir das was... Augenzwinkern

23.08.2009, 03:06

man2001

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wo danke das ging schnell

also ich müsste ja zeigen, dass das der Abschluss des Bildes von T nicht gleich X' ist.
Nun seh ich erstmal nicht wie die Norm von x mir da weiterhelfen kann.

ich könnte ja auch noch zeigen dass keine folge in im(T) gegen das y' konverguiert
wäre es damit auch geziegt?

also
was ich dann bisher weiß
$\begin{eqnarray*} Tx'(x)=z'(x)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |z'(x)|\leq ||z'||||x|| = ||z'|| \sup\{|x'(x)| : x'\in X',\,\|x'\|=1\} \end{eqnarray*}$
jetzt weiß ich dass das sup nicht gleich 0 ist
$\begin{eqnarray*} |z'(x)|\leq C||z'|| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} C>0 \end{eqnarray*}$

aber ich weiß jetzt nicht, wie mich das in sachen dichtheit weiterbringt

23.08.2009, 12:53

WebFritzi

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OK, der Hinweis war irgendwie doof. Ich geb's zu. Wir machen es mit Widerspruch. Nimm an, das Bild von T sei dicht. Sei $\begin{eqnarray*} x'\in X' \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann gibt es eine Folge $\begin{eqnarray*} (y_n') \end{eqnarray*}$ aus dem Bild von T, die gegen $\begin{eqnarray*} x' \end{eqnarray*}$ konvergiert. Es folgt dann x'(x) = 0. Um das zu zeigen, schätze |x'(x)| geeignet nach oben ab. Und dann kommt der Satz von Hahn-Banach: x = 0 (da x' ja beliebig war).

23.08.2009, 14:34

man2001

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also die abschätzung wäre dann:

0= $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to 0}|x'(x)-y'_n(x)|\leq \lim_{n \to 0}(|x'(x)|+|y'_n(x)|) \end{eqnarray*}$

also:
$\begin{eqnarray*} 0\leq 2*|x'(x)|\leq 2*||x'|||x| \end{eqnarray*}$

aber weiter komm ich nicht.

und was wäre der Widerspruch?
Das x=0 ist?
Das kann doch sein, oder?

23.08.2009, 15:02

man2001

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oder:
$\begin{eqnarray*} 0=\lim_{n \to 0}|x'(x)-y'_n(x)| \end{eqnarray*}$

=>

$\begin{eqnarray*} 0=|x'(x)| \end{eqnarray*}$ klar da $\begin{eqnarray*} y'_n(x) \end{eqnarray*}$ ja 0 ist für alle n

da es aber ein $\begin{eqnarray*} x'(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ gibt ist im(T) nicht dicht in X' weil dieses x' ja nicht von einer folge erreicht wird.

Kann man es vieleicht acuh so machen?
WebFritzi:
deinen beweis verstehe ich nicht ganz.
Ich seh nicht wie man sieht das x'(x)=0, wenn man es nach oben abschätzt
und auch nicht den Widerspruch.

25.08.2009, 01:18

man2001

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kann mir jemand sagen ob meine idee richtig ist?
und vieleicht kan WebFritzi mir seinen beweis erklären?

danke

25.08.2009, 06:23

WebFritzi

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Zitat:

Original von man2001
$\begin{eqnarray*} 0=\lim_{n \to 0}|x'(x)-y'_n(x)| \end{eqnarray*}$

=>

$\begin{eqnarray*} 0=|x'(x)| \end{eqnarray*}$ klar da $\begin{eqnarray*} y'_n(x) \end{eqnarray*}$ ja 0 ist für alle n

da es aber ein $\begin{eqnarray*} x'(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ gibt ist im(T) nicht dicht in X' weil dieses x' ja nicht von einer folge erreicht wird.

Das ist alles richtig. Nur

Zitat:

Original von man2001
$\begin{eqnarray*} 0=\lim_{n \to 0}|x'(x)-y'_n(x)| \end{eqnarray*}$

musst du noch beweisen.

25.08.2009, 14:05

man2001

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ah ok dann verstehe ich jetzt auch deinen beweis
wenn ich ja annehme dass Bild von T in X' dicht liegt
gilt: $\begin{eqnarray*} 0=\lim_{n \to 0}|x'(x)-y'_n(x)| \end{eqnarray*}$
aber daraus dann x'(x) = 0
aber es gibt ja ein x'(x) ungleich 0

25.08.2009, 14:34

WebFritzi

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Zitat:

Original von man2001
wenn ich ja annehme dass Bild von T in X' dicht liegt
gilt: $\begin{eqnarray*} 0=\lim_{n \to 0}|x'(x)-y'_n(x)| \end{eqnarray*}$

Wie gesagt: Den Beweis bleibst du noch schuldig.

25.08.2009, 15:03

man2001

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ok
ich weiß:
$\begin{eqnarray*} 0=\lim_{n \to 0}||x'-y'_n||=\lim_{n \to 0}\sup{x \in X]|x'(x)-y'_n(x)| \end{eqnarray*}$

wäre das der beweis.
sonst hätte ich nämmlich keine idee.

ich weiß auch nicht was du meinst mit

Zitat:

Um das zu zeigen, schätze |x'(x)| geeignet nach oben ab

25.08.2009, 15:05

man2001

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oh sry

$\begin{eqnarray*} 0=\lim_{n \to 0}||x'-y'_n||=\lim_{n \to 0}\sup_{x \in X}|x'(x)-y'_n(x)| \end{eqnarray*}$

25.08.2009, 17:42

WebFritzi

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Nein. Zudem ist die zweite Gleichheit auch noch falsch. Ich hatte oben etwas von "Abschätzung" geschrieben...

25.08.2009, 18:06

man2001

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$\begin{eqnarray*} |x'(x)-y'_n(x)|\leq |x'(x)|-|y'_n(x)|\leq ||x'||||x||-||y'_n||||x||=(||x'||-||y'_n||)||x|| \end{eqnarray*}$

grenzwert:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}|x'(x)-y'_n(x)|\leq 0 \end{eqnarray*}$

und da $\begin{eqnarray*} |x'(x)-y'_n(x)|\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle n

konvergiert $\begin{eqnarray*} y'_n(x) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} x'(x). \end{eqnarray*}$

wäre das richtig?
sonst weiß ich echt nicht weiter
weil ich einafch nicht versteh was du dann mit
$\begin{eqnarray*} Um das zu zeigen, schätze |x'(x)| geeignet nach oben ab \end{eqnarray*}$
meinst.

sry hab anstatt $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n \to 0 \end{eqnarray*}$ die ganze Zeit geschreiben

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