Konvergenzradius von (x^n)/n bestimmen

23.08.2009, 13:05

inseljohn

Konvergenzradius von (x^n)/n bestimmen

Hallo Leute,

bin da auf mein nächstes problem gestoßen.
der aufgabentext lautet:
Bestimmen sie den Konvergenzradius R folgender Potenzreihen. Für welche x elemete aus r konvergiert, bzw. diverguert die entsprechende reihe?
Verwenden sie das Quotienten oder das Wurzelkriterium

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{x^n}{n} \end{eqnarray*}$

hmmm, hab jetzt das quotientenkriterium in der form gefunden:
$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$

aber irgendwie bringt mich das gerad nicht so wirklich weiter unglücklich

hab jetzt das
$\begin{eqnarray*} \frac{x^{n+1}*n}{(n+1)*x^{n}} \end{eqnarray*}$

23.08.2009, 13:31

ge88

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RE: Konvergenzradius von (x^n)/n bestimmen
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^n \end{eqnarray*}$

Konvergenzradius: $\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \end{eqnarray*}$

Oder einfach damit

Zitat:

Original von inseljohn
hab jetzt das
$\begin{eqnarray*} \frac{x^{n+1}*n}{(n+1)*x^{n}} \end{eqnarray*}$

weitermachen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{n+1} \cdot n}{(n+1) x^n} = \frac{x^{n+1}}{x^n} \cdot \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

23.08.2009, 13:40

inseljohn

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hey, danke für deine antwort.

ahh, das hab ich gar net gesehen =)
aber irgendwie bin ich mir da gerad trotzdem unsicher, wie ich weitermachen soll.
irgendwie komm ich mit diesem konvergenzkram ziemlich schlecht zurecht unglücklich

ist meine formel denn da falsch?
denn du hast das ja genau andersrum?!

23.08.2009, 13:57

inseljohn

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hmm..also hab jetzt das...

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{n+1} \cdot n}{(n+1) x^n} = \frac{x^{n+1}}{x^n} \cdot \frac{n}{n+1}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{x^nx}{x^n}*\frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

das gekürzt ergibt das

$\begin{eqnarray*} \frac{xn}{n+1} \end{eqnarray*}$

ist das richtig? aber was bringt mir das denn jetzt? unglücklich

23.08.2009, 14:20

ge88

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Zitat:

Original von inseljohn
$\begin{eqnarray*} \frac{xn}{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{xn}{n+1} = x \cdot \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

Was gilt fuer $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ ?

23.08.2009, 14:24

WebFritzi

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Bitte den Betrag nicht vergessen!

23.08.2009, 14:32

inseljohn

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hmmm...wie gesagt, ich bin noch völlig neu auf dem gebiet. ich hoffe, ih verzeiht mir meine doofheit smile

aber ich hab die grundkentnisse da noch nicht so wirklich drauf!

wenn ich in diese formel jetzt für n= $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ einsetze,
erhalte ich doch einfach wieder 1 oder nicht (das +1 ist doch vernachlässigbar klein oder)?

23.08.2009, 14:44

ge88

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Zitat:

Original von inseljohn
wenn ich in diese formel jetzt für n= $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ einsetze,
erhalte ich doch einfach wieder 1 oder nicht (das +1 ist doch vernachlässigbar klein oder)?

1 ist richtig.
Es geht so :
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n \left( 1 + \frac{1}{n} \right)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = 1 \end{eqnarray*}$

Fuer welche x ist $\begin{eqnarray*} |x| \cdot \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ kleiner als 1?

23.08.2009, 15:02

inseljohn

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oh, sorry. kann gerad wieder überhaupt nicht nachvollziehen, wie du auf diese umformungen da kommst. ich glaub, ich gebs auf. mir fehlen einfach nur zu viele grundlagen in diesem thema...und klausur is nur noch 7tage entfernt unglücklich

du meinst was ich für betrag x einsetzen muss, damit kleiner 1 rauskommt?
bei 1 zum beispiel oder nicht?

23.08.2009, 15:18

ge88

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Zitat:

Original von inseljohn
du meinst was ich für betrag x einsetzen muss, damit kleiner 1 rauskommt?
bei 1 zum beispiel oder nicht?

Genau das meine ich, aber mit x=1 ist der Grenzwert bei dem Quotientenkriterium 1, also die Reihe konvergiert nicht. Du brauchst etwas, was echt kleiner als 1 ist.

Zitat:

Original von inseljohn
ist meine formel denn da falsch?
denn du hast das ja genau andersrum?!

Das, was ich geschrieben habe, ist fuer den Konvergenzradius: $\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \end{eqnarray*}$ .
Das, was du meinst, ist das Quotientenkriterium: $\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \end{eqnarray*}$

23.08.2009, 19:51

inseljohn

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ähh -1? aber der betrag macht die ganze sache doch dann witzlos..
sorry, ich checks nicht. wenn ichs verstanden habe, wirds mir wahrscheinlich peinlich sein...aber momentan...sorry Augenzwinkern

aso und warum konnte ich das normale quotientenkriterium anwenden.
hab das jetzt ma bei einigen aufgaben so gemacht und kam damit ganz gut hin..

23.08.2009, 20:06

ge88

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Zitat:

Original von inseljohn
aso und warum konnte ich das normale quotientenkriterium anwenden.

Die Potenzreihe ist eine Reihe.

Das QK:

Zitat:

Gegeben sei eine unendliche Reihe $\begin{eqnarray*} S := \sum_{n=0}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ mit reellen oder komplexen Summanden $\begin{eqnarray*} a_n\neq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Gibt es einen Index $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} q < 1 \end{eqnarray*}$ so, dass für alle $\begin{eqnarray*} n > n_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \le q<1 \end{eqnarray*}$ ,

so ist die Reihe absolut konvergent.

Bei dir ist $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{x^n}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = |x| \cdot \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Du weisst jetzt, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1 \end{eqnarray*}$ ist, also alles haengt von |x| ab.

23.08.2009, 20:20

inseljohn

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also konvergent, wenn |x| <1 und divergent wenn |x|>1 ?

edit:
hab jetzt noch mal ne andere aufgabe versucht.
hab am ende da

$\begin{eqnarray*} \frac{n^{n}}{(n+1)^{n+1}} \end{eqnarray*}$

irgendwie weiß ich gerad nicht, wie ich das weiter kürzen/vereinfachen kann unglücklich

23.08.2009, 21:04

jester.

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http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=127640

Da hast du gestern bereits Antworten erhalten! unglücklich

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