Potenzen dividieren - Basen und Exponenten ungleich?

23.08.2009, 17:08

Mao

Potenzen dividieren - Basen und Exponenten ungleich?

Hallo Community! smile

Nach gut 3 Monaten ohne Schule merk ich nun auf dem Gymnasium zu meiner eigenen Schande, dass ich einiges vergessen hab und ich teilweise einfach nicht mehr hinterherkomme; auch bei Themen, die mir auf der Realschule keine Probleme gemacht haben. Ich denk mal, ich bin irgendwie aus der Übung gekommen.

Im Moment hab ich Probleme mit 2 Aufgaben, in denen Potenzen dividiert werden sollen. Ich denke mal, das Grundprinzip hab ich verstanden und eher das drumrum macht gerade etwas Ärger.

Aufgabe: $\begin{eqnarray*} \frac{(t-3)^4}{(3-t)^3} \end{eqnarray*}$
Eigentlich hab ich hier doch sowohl unterschiedliche Basen als auch unterschiedliche Exponenten. Nur darf ich ja Minuend und Subtrahend nicht vertauschen, oder? Was ist der Trick an der Sache?

Auch an einer anderen Aufgabe probiere ich nun schon eine kleine Weile und auch dort dürfte es wahrscheinlich eher an dem "drumherum" scheitern. unglücklich

$\begin{eqnarray*} \frac{(c-1)^{n-1}}{(c^2-1)^{n-1}} \end{eqnarray*}$
Der Exponent n-1 hebt sich ja auf (n-n=0, -1-(-1)=0), bleibt also nur noch $\begin{eqnarray*} \frac{c-1}{c^2-1} \end{eqnarray*}$ übrig. Irgendwie schein ich mathematisch blind zu sein, ich beekomm nicht wirklich etwas sinnvolles dabei heraus. Aber es lässt sich doch sicherlich noch weiter vereinfachen, oder?

Es wäre nett, wenn jemand die Zeit hätte, mir den ein oder anderen Hinweis zu geben.
Viele Grüße! Wink

Markus

23.08.2009, 17:30

Mao

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Uff, zumindest zur zweiten Aufgabe ist mir gerade aufgefallen, dass ich ja da letztendlich auch nur Potenzen dividieren ( $\begin{eqnarray*} c=c^1 \end{eqnarray*}$ sei dank) muss. Komm ich der Lösung ein Stück näher, aber bekomm immer noch unterschiedliche Ergebnisse mit dem originalen Term und meiner Bearbeitung heraus.
Jetziger Stand zweite Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \frac{c-1}{c^2-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{c}+1 \end{eqnarray*}$

Ich hätte gern auch editiert, aber da war ich schon über die Zeit drüber.

Viele Grüße!

23.08.2009, 17:34

sulo

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Zur zweiten Aufgabe:
Hier hast du einen Fehler gemacht, getreu der Regel: Summen kürzen nur die Dummen ... Augenzwinkern

Vielmehr solltest du beachten: $\begin{eqnarray*} c^2-1=c^2 - 1^2 = (c-1)\cdot (c+1) \end{eqnarray*}$ smile

edit: Weiterhin darfst du die Potenz nicht so einfach wegfallen lassen.
Du kannst den Bruch jedoch einklammern und dann potenzieren.

23.08.2009, 17:58

Mao

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Danke sulo! smile

Ich bin jetzt auf
$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{c+1})^{n-1} \end{eqnarray*}$
gekommen, was die korrekte Lösung sein dürfte. Danke dafür!
Mit der Regel meintest du, ich darf innerhalb von Summen einfach nichts wegkürzen, oder? Mit dem Wegfallen der Potenz n-1 hab ich gerade auch noch ein Problem: (n-1)-(n-1) (Potenzgesetz: Brüche gleicher Basis werden dividiert, indem die Exponenten subtrahiert werden) = 0. Und x^0=1. Ist das der Grund?

Viele Grüße! smile

23.08.2009, 18:02

Nubler

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hinweis zum ersten:
(etwas ausführlich, damit auch gesehen wird, worauf des ganze beruht und raus soll)
für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ist
$\begin{eqnarray*} a^n:=\underbrace{a \cdot a\cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-mal} \end{eqnarray*}$
somit sind zähler und nenner eigentlich nichts weiter als produkte von klammerausdrücken.
wenn du hindchaust, unterscheiden sich die klammern von zähler und nenner jeweils nur um einen faktor. klammer diesen faktor aus.

alternative nöglichkeit:

im zähler steht was von der form $\begin{eqnarray*} b^4 \end{eqnarray*}$
aufgrund deiner potenzgeetze weisst du, dass des des gleiche ist wie $\begin{eqnarray*} b^{2\cdot2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b^2)^2 \end{eqnarray*}$ ist.
wie kannst du den zähler also noch schreiben?

23.08.2009, 18:18

sulo

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Zunächst: Die Lösung stimmt. Freude

Zitat:

Original von Mao
Mit der Regel meintest du, ich darf innerhalb von Summen einfach nichts wegkürzen, oder? Mit dem Wegfallen der Potenz n-1 hab ich gerade auch noch ein Problem: (n-1)-(n-1) (Potenzgesetz: Brüche gleicher Basis werden dividiert, indem die Exponenten subtrahiert werden) = 0. Und x^0=1. Ist das der Grund?

1. Ja, man darf nicht so kürzen: $\begin{eqnarray*} \frac{x+y}{x} = \frac{y}{1} =y \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

2. Hier hast du richtig geschrieben, dass die Basis von Nenner und Zähler gleich sein muss, bevor man die Exponenten bearbeiten kann. Im vorliegenden Fall war dies aber nicht so, deshalb ging es nicht.

Zur ersten Aufgabe:
Hier hat dir Nubler schon einige Tipps gegeben.
Weiterhin solltest du beachten: (a-b) = -(b-a) Augenzwinkern

23.08.2009, 19:12

Mao

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Also ich muss schon zugeben, ich hab eine kleine Weile drüber nachdenken müssen, um welchen Faktor es sich handelt, bis es mir dann so klar vor den Augen war. geschockt

Ich bin jetzt zu $\begin{eqnarray*} -t+3 \end{eqnarray*}$ gekommen. Danke euch!

@Nubler:
Dein Alternativvorschlag würde mich, wenngleich ich die Lösung nun auch schon habe, trotzdem interessieren. Nur kann ich dir da nicht ganz folgen. Könntest du mir`dazu noch einen Tipp geben?

Viele Grüße! Wink

23.08.2009, 19:29

sulo

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-t + 3 (bzw. 3-t) stimmt Freude

23.08.2009, 19:38

Nubler

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für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} (-b)^{2n}=(b)^{2n} \end{eqnarray*}$
überlege dir nun, warum.
hinweis: siehe oben

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