Bilinearform Matrix / Sylvester

23.08.2009, 19:13

Hans123

Bilinearform Matrix / Sylvester

Hallo

Man kann doch die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ einer Biliniearform folgendermassen darstellen (mit basiswechsel etc):

$\begin{eqnarray*} A=\operatorname{diag}(1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0 \dots 0) \end{eqnarray*}$

Meine Frage:
Geht das immer, oder muss die Bilinearform zwingend Symmetrisch sein?

Danke
Hans

23.08.2009, 19:44

Philipp Imhof

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RE: Bilinearform Matrix / Sylvester
Das ist die Normalform einer symmetrischen Bilinearform und geht nicht immer. Einfaches Gegenbeispiel: Sei V=R^2 und $\begin{eqnarray*} \beta: V\times V \to \mathbb{R}, \beta(v,w)=v^TAw \end{eqnarray*}$ mit der Matrix $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}0&2\\-2&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Diese Matrix ist nicht kongruenz zu einer Diagonalmatrix der von dir genannten Form. Dafür ist sie aber kongruent zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , und zwar mit der Transformationsmatrix $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix}1&0\\0&\frac12\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist die sog. alternierende Normalform.

23.08.2009, 20:12

Hans123

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RE: Bilinearform Matrix / Sylvester

Zitat:

Original von Philipp Imhof
Das ist die Normalform einer symmetrischen Bilinearform und geht nicht immer.

Aber bei deinem beispiel ist ja $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ auch nicht symmetrisch?

23.08.2009, 20:18

Philipp Imhof

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RE: Bilinearform Matrix / Sylvester
Eben, darum geht es ja nicht. Vielleicht war meine Aussage unpräzise:

Jede symmetrische Matrix ist kongruenz zur symmetrischen Normalform, wie du sie beschrieben hast. Aber nicht jede Matrixdarstellung einer Bilinearform.

23.08.2009, 20:59

Hans123

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Okey, jetzt ist klar. Danke Freude