Nullstellen einer trigonometrischen Gleichung finden

24.08.2009, 17:22

white-rabbit

Nullstellen einer trigonometrischen Gleichung finden

Hallo,

ich habe mal wieder ein Problem mit dem finden der Nullstellen.
Die Gleichung heißt

$\begin{eqnarray*} tan(x-10)+tan(x)=0 \end{eqnarray*}$

Die einzige Idee die ich bis jetzt hatte ist folgende

$\begin{eqnarray*} -tan(10-x)=-tan(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tan(10-x)=tan(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{tan(10)-tan(x)}{1+tan(10)\cdot tan(x)}=tan(x) \end{eqnarray*}$

Allerdings komme ich hier nicht weiter.

Gibt es noch einen anderen Weg? Irgendwas mit $\begin{eqnarray*} tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)} \end{eqnarray*}$

Danke schonmal für die Hilfe!

24.08.2009, 17:26

Bjoern1982

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Es gilt -tan(x)=tan(-x) und damit dann tan(x-10)+tan(x)=0 <=> tan(x-10)=-tan(x) <=> tan(x-10)=tan(-x) <=> x-10=-x <=> ...

24.08.2009, 17:45

white-rabbit

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Das hört sich logisch an. Ich werde mir das mal durch den Kopf gehen lassen.

Danke schonmal

24.08.2009, 19:24

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Zitat:

Original von Bjoern1982
tan(x-10)=tan(-x) <=> x-10=-x

Den Teil $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ solltest du nochmal überdenken - schließlich ist der Tangens global gesehen alles andere als injektiv.

24.08.2009, 21:31

Bjoern1982

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Stimmt das war totaler Murks, tut mir leid unglücklich

Ich denke eine gewisse Periodizität wäre hier noch angebracht Idee!

25.08.2009, 10:00

white-rabbit

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Zitat:

tan(x-10)=tan(-x) <=> x-10=-x <=> ...

Wenn ich das ganze jetzt nach x auflösen würde verschwindet ja x und ich hätte -10=0.

Also muss es ja eine andere Lösung geben bei der ich nachher zumindestens eine Nullstelle rausbekomme.

Es gibt ja auf jeden fall zwei Nullstellen die dann periodisch verlaufen.

Hat jemand eine Idee wie man da rangehen kann?

25.08.2009, 10:19

Huggy

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Wieso fällt x weg? Auf der rechten Seite steht doch -x.

25.08.2009, 10:34

white-rabbit

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Ich hab die Nullstellen mal durch ein Programm berechnen lassen:

$\begin{eqnarray*} x_1=0,29+n \cdot \pi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=1,86+n \cdot \pi \end{eqnarray*}$

für n=1,2,3,....

25.08.2009, 10:41

white-rabbit

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Zitat:

Wieso fällt x weg? Auf der rechten Seite steht doch -x.

Hab ich übersehen.

Da kommt dann x=5 raus, was ja eine Nullstelle ist.

Aber wie komme ich von diesem einen Wert auf die anderen?

25.08.2009, 10:44

Huggy

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Das ist eine unschöne numerische Darstellung der Lösungen. Eine Lösung ist doch offenbar x = 5. Damit sollte dir eine schönere Darstellung aller Lösungen gelingen. Beachte die Periodizität des Tangens und schau dir zusätzlich an, was passiert, wenn man $\begin{eqnarray*} \pi /2 \end{eqnarray*}$ zu einer Lösung addiert.

25.08.2009, 10:51

white-rabbit

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Ich hbe noch was ausprobiert und bin auf folgendes Ergebniss gekommen:

Die errechnete Nullstelle ist x=5.

Dann wäre $\begin{eqnarray*} x_1=5+n \cdot \pi \end{eqnarray*}$ .

Um auf die anderen Nullstellen zu kommen rechne ich $\begin{eqnarray*} 5- \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ und erhalte für die anderen Nullstellen $\begin{eqnarray*} x_1=3,43+n \cdot \pi \end{eqnarray*}$ .

Gibt es da irgendenen Trick um zu wissen das ich da $\begin{eqnarray*} \pi /2 \end{eqnarray*}$ abziehen muss? Das der tan $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ periodisch ist weiß ich. Deshalb werden die periodischen Nullstellen ja anschleißend mit $\begin{eqnarray*} n \cdot \pi \end{eqnarray*}$ gefunden.

25.08.2009, 10:57

Huggy

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Es ist

$\begin{eqnarray*} \tan(\alpha + \pi /2)=-\cot\alpha \end{eqnarray*}$

Damit kommst du auf die anderen Nullstellen.

25.08.2009, 11:12

white-rabbit

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Muss ich dazu nicht wissen das die anderen nullstellen um $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ verschoben sind? verwirrt

Es gibt ja auch funktionen die haben dann nur eine Periodische Nullstelle.

Wenn ich mir eine Zeichnung dazu machen kann ich ja herausbekommen wie viele Periodische Nullstellen es gibt, aber das muss doch auch Rechnerisch gehen.

25.08.2009, 11:13

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Warum nicht gleich gemeinsam darstellen? Der Tangens ist $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ -periodisch, also folgt anknüpfend an Bjoern1982

$\begin{eqnarray*} \tan(x-10) = \tan(-x) \quad\Longleftrightarrow\quad \exists n\in\mathbb{Z}:\; x-10 = -x+n\pi \end{eqnarray*}$ ,

das rechts ergibt umgeformt die allgemeine Lösungsdarstellung

$\begin{eqnarray*} x = 5 + n\cdot \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ .

25.08.2009, 11:32

white-rabbit

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Danke für eure Hilfe ! Freude

Das hab ich jetzt verstanden.

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